高斯算术的妙用

在数学世界的王国里，曾出现过无数的天才，其中有一位就是人称“数学王子”的高斯。相信大家都知道，高斯在小时候就巧妙地解出了老师出的一道难题：1+2+3+4+5+……+100=？你一定也知道这是什么题型吧，不错，这就是后来被称为“高斯算术”的等差数列求和。

这一天，爸爸给我讲了高斯的这个故事，并考我：“1到10的整数之和是多少？”我听了题，心想：太简单了，我用配对法不就可以了吗？想完，我就立刻算了起来：1+10=11；2+9=11；3+8=11；4+7=11；5+6=11；一共5组，11×5=55。

“对了”，爸爸点了点头，加大了难度，继续考我：“刚才没考倒你，那你知道1到30中的偶数加起来是多少？”这个……我马上想用刚才的计算方法，2+30＝32，可是一共几组呀？配好了对，一组组去数也太繁琐了吧？此时的我，真是一筹莫展，只好向爸爸请教。

爸爸却卖起了关子，“我们先来想一下高斯的办法吧，那些数经过高斯一一配对，每一对数的和其实就是平均数的两倍，我们把这个和除以2，那是不是表示，有多少个数就相当于有多少个平均数？”

爸爸看我点点头，继续说道：“这样就形成了一个公式，和＝（首项+未项）÷2×项数。”

“那这个项数怎么知道呀？”我想起刚才我卡住的地方，急忙问道。

“这个项数呀，表示有多少个数，这和他们的公差有关，高斯那道题，因为是自然数，他们的公差是1，所以没体现出来，但我们现在求的是偶数之和，他们的公差是2，项数的重要性就体现出来了。”

爸爸看我着急的样子，就在纸上写下一个公式：项数=（末项－首项）÷公差+1，并解释说：“这个公式中‘末项—首项’求出的是总差，再除以公差，再加上1就得到了项数。”

“为什么要加1呀？”

“这就像我们种树，每一个树坑就是一个项，间距就是公差，我们从第一个坑到最后一个坑的距离是总长度，总长度除以间距得出的是什么呢？对了，是一共有几个间距，我们关注的是有几个坑，种树的“坑”的是不是要比“间距”多“1”呀?”

听了爸爸的解答，我马上列出一个算式来：（30－2）÷2+1=15，（2+30）÷2×15=240。是呀，“首项+末项”是平均数的两倍，因此要除以2，然后乘以“项数”就可以得出答案了。

我高兴地在纸上写下了这个公式：和＝（首项+未项）÷2×项数。咦，这个公式怎么这么眼熟呢？我开始在脑海中搜寻，哦，梯形的面积公式和它很相似呀——梯形的“上底+下底”不就相当于“首项+末项”吗？如果把高看成公式中的项数，那么“×高÷2”不就是“×项数÷2”吗？

其实，这不是想起数学上的“堆木头”问题吗？要计算木头的总数，以前总是一层层相加，计算得很累，还容易出错，要求它们的面积是相当于求等差数列的和，公式就可以通用，那么不就可以应用起来了吗？右图的钢管总数=（第一层+第四层）÷2×层数=(2+5)÷2×4=14根，我一数，正确！

我的思考又向前迈了一步：与梯形比较相似的是三角形，如果，我们把三角形看成上底是“0”的一个梯形，那三角形面积的公式不就成了（0+底）÷2×项数（高），我茅塞顿开：原来它们都是一个祖宗生出来的!

看来，在数学世界中，隐藏着无数的奥秘和宝藏，只要我们用心探索，一定会有意想不到的收获！