2006年山东高考数学压轴题，当年难住不少考生，掌握方法是送分题

　　大家好！本文和大家分享一下这道2006年山东高考数学的压轴题。这道题主要考查的是递推法求数列通项公式以及数列求和等知识点。这道题的题目看起来比较复杂，当年也是难住了不少考生，其实只要掌握了方法这就是道送分题。下面我们一起来看一下这道压轴题。

　　

　　先看第一小问：证明新数列是等比数列。要证明一个数列是等比数列，我们最常用的方法还是定义法，该数列从第二项开始，后一项与前一项的比为常数，所以我们需要找到新数列后一项与前一项的比值。

　　由于点在函数f(x)=x^2+2x的图像上，那么把点的坐标代入，得到a(n+1)=(an)^2+2an，两边同时加1，可以得到a(n+1)+1=(an+1)^2①。由a1=2可知，an+1＞0，所以①式两边同时取常用对数，然后再相除即可得到两项的比值为一个常数，从而证明结论。

　　

　　再看第二小问：求通项公式及Tn。

　　第一小问已经证明了新数列是一个以2为公比的等比数列，所以可以先求出新数列的通项公式。即lg(1+an)=2^(n-1)lg(1+a1)=2^(n-1)lg3，从而得到an+1=3^[2^(n-1)]，从而求出an的通项公式为：an=3^[2^(n-1)]-1。

　　接下来求Tn，将1+an代入Tn的表达式，整理得到Tn=3^[1+2+2^2+...+2^(n-1)]。再将指数部分用等比数列求和公式计算，最后得到Tn=3^(2^n-1)。

　　

　　最后再看第三小问：求数列bn的前n项和并证明结论。

　　要求bn的前n项和，那么需要先求出bn的通项公式。由a(n+1)=(an)^2+2an可得，a(n+1)=an(an+2)，然后取倒数，再移项，就可以求出1/(an+2)的表达式，然后代入bn的定义式，得到bn=2[1/an-1/a(n+1)]。看到这样的形式，那么要求bn的前n项和就可以用裂项相消法。最后Sn=2[1/a1-1/a(n+1)]，在代入an的通项公式即可求出Sn。

　　最后，将Sn和Tn的表达式代入要证明的等式的左边，通过计算就可以得到其值为1，即结论得证。

　　

　　这道题的难度并不算太大，但却是一道非常经典的题目，对于高中学生来说也是必须掌握的题型。那么，你学会了吗？

　　举报/反馈