2020年浙江高考数学选择压轴题目的复杂解法

　　浙江卷选择压轴第10题：

　　读懂题目后发现集合S和T中的元素有关系，即从S集合中任取两个元素，元素的积是集合T中的元素，且若从T数列中任取两个元素，元素之商(大比小)也是S中的元素，这就要求S元素中的元素有不能是1的最小公约数，类似于等比数列，所以本题目最佳的做法是举例排除，如：

　　若S中有三个元素，可设S={1,2,4}，T={2,4,8},此时两个集合的并集有4个元素；

　　若S={2,4,8},T={8,16,32},此时取并集后共有2,4,8,16,32五个元素，所以C,D可排除

　　若S中有四个元素，设S={1,2,4,8},T={2,4,8,16,32},此时不符合要求，猜测S中不能有1元素，设S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},符合要求，此时S,T取并集后共2,4,8,16,32,64,128七个元素，排除B，答案选A。

　　以上是利用特值法排除后得到的答案，当S中有四个元素时猜测S中不含有1元素，若把题目复杂化，按照证明的思路证明一下当S中有3个或4个元素时，取并集后共有多少个元素。

　　先假如S中有三个元素：

　　到这一步能发现p3/p1最大，p3/p2和p2/p1的大小不能确定，且两者有相等的可能，若假设两者不相等，此时即为三个元素对应原来S中的三个元素，作表如下：

　　显然不是一一对应的，只剩一种可能，即未确定大小的这两个元素相等，即：

　　当S中有4个元素时完全可以类比上面的结论来处理，例如：

　　这样很轻易把答案选出来，如果此时再按照上面证明的方法，T中元素过多且大小不确定，很难一一讨论，但是从上面过程中能得出规律，即需要讨论p1是否为1，若p1为1，则p2,p3,p4都能用p2表示出来，若p1不为1，则p2,p3,p4均可用p1表示出来，因此证明时需要找到p1与p2,p3,p4的关系，或者p2与p3,p4的关系，这种关系可通过不等式的夹逼来确定。

　　总的来说，这个题目读懂后能发现，符合要求的S和T集合中的元素有等比数列的性质，若是一个首项不为1的等比数列，肯定都满足要求，相除即为等比数列的公比，但若等比数列中的首项为1，若S中有四个元素，则S中最高次为3次，但T中最高次为5次，在T中任取两项，其中一项为1次项，另一项为5次项，相除的4次项并不在S中。

　　这个题目出在选择题中还算比较简单，用特值即可，但本题目也有可能出现在大题中，算是一个思维性和逻辑性都很不错的题目。

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