初三数学 中考复习 共顶点模型通过旋转和位似变换解决几何难题
#初中几何#共顶点旋转模型是初中几何很重要的一个模型，也是我们在很多几何题中很重要的解题手段。在学习了全等三角形手拉手模型后，我们继续进行延伸，拓展到相似三角形，进而让我们能够解决更多的数学几何题目。
01例题
在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动。△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上的一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边△BEF,连接CF.
(1)如图16-1,当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等，清你找出来，并证明；
左为图16-1，右为图16-2(2)当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为（四分之一七倍根号三），求AE的长；
⑶如图16 - 2,当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D,请你探究△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由； '
⑷如图16-2,当△ECD的面积S1=（六分之根号三）时.求AE的长.
02例题剖析
(1) 结论：△ABE≌△CBF.根据SAS即可证明.
(2) 由△ABE≌△CBF ，推出 S△ABE = S△CBF，推出 S四边形BECF = S△BEC +S△BCF= S△BCE +S△ABE =S△ABC =根号三.由 S四边形ABFC=（四分之一七倍根号三），推出 S△ABE=（四分制三倍根号三），再利用三角形的面枳公式求出AE即可。
(3) 结论：S2-S1=根号三.利用全等三角形的性质即可证明.
(4) 首先求出△BDF的面积，由CF//AB，则△ BDF的DF边上的高为根号三，可得DF =7/3。设CE=x,则2+x=CD+DF=CD+7/3,推出CD=x-1/3.由CD//AB,可得CD/AB=CE/AE,即(x-1/3)/2=x/(x+2)即可.
03例题解析
论：△ABE≌△CBF
如图16-1,
图16-1因为△ABC及△BEF都是等边三角形，
所以 BA=BC,BE=BF且∠ABC=∠EBF.
则 ∠ABE=∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC=∠CBF.
因此△ABE≌△CBF,
(2) 如上图 16-1,因为△ABE≌△CBF,,所以 S△ABE = S△CBF,
则 S四边形BECF = S△BEC + S△BCF= S△BCE+S△ABE =S△ABC =根号三.
因为 S四边形ABFC=（四分之一七倍根号三）
S△ABE=S四边形ABFC - S四边形BECF=（四分制三倍根号三）
由此可知,AE = 3/2.
(3) 结论：S2—S1=根号三.
如图16-2,
图16-2因为△ABC、△BEF都是等边三角形，
所以 BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF.
易知∠ABE=∠CBF,所以△ABE≌△CBF,S△ABE=S△BCF.
因为 S△BCF - S△BCE= S2 -S1，
所以 S2 - S1=S△ABE - S △BCE = S△ABC =根号三 .
(4) 由(3) 可知,S△BDF - S△ECD=根号三.
因为 S△ECD=（六分之根号三）. 所以 S△BDF=（六分之七倍根号三）.
因为 △ABE ≌△CBF，所以 AE=CF ,∠BAE=∠BCF = 60°=∠ABC.
故有CF〃∥AB，可知△ BDF的DF边上的高为根号三.
因为 S△DBF =1/2*DF*（根号三） ,解得 DF=7/3.
设CE=x,则2+x=CD+DF=CD+7/3,
解得CD=x-1/3.
由CD//AB,可得CD/AB=CE/AE,
即(x-1/3)/2=x/(x+2),
化简,得3x-x-2=0,解得x=1或x=-2/3（舍）.
故有CE = 1,AE=3.
04知识归纳
共顶点模型，从动态角度看，是多边形绕着一个顶点进行旋转变换和位似变换后，新几何图形与原图形构成的一个整体.
寻找共顶点模型的步骤：
寻找公共顶点,列出共顶点的两组相等的边或者对应成比例的边，将两组对应的相等的边或成比例的边分散到两个三角形中，证明两个三角形全等或者相似.
在一个顶点处有两条相等的线段或者成比例的线段,则可以寻找或者添加辅助,构造共顶点的全等或者相似基本图形，通过改变线段或者角度的位置关系，来探究线段或者角度之间的数量关系.
一些常见的辅助线构造方法如下.
（1）旋转全等：共顶点、等线段，构造旋转全等图形，如图16-3.
图16-3（2）旋转相似：共顶点、等顶角，构造旋转相似图形，如图16-4.
图16-4（3）等线段、不共顶点角相等，截大补小造全等，如图16-5
图16-5（4）共顶点等线段，则可以连接另一端点，构造等腰三角形进行计算或证明，亦可构造辅助圆，利用圆的性质进行计算或证明.
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