2020年河北省中考数学压轴题解析

　　题目：

　　26．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=3/4．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．

　　（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；

　　（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；

　　（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；

　　（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=9/4，请直接写出点K被扫描到的总时长．

　　先初步观察分析，给定的△ABC，这是等腰△ABC，底角的正切值是3/4，底边是8,则BC上的高是3，腰长AB=AC=5,AM=CN=2,MB=3,BN=6.当点P在AB上时，根据∠APQ＝∠B．得到A字型相似，△APQ∽△ABC;当点P在BN上时，存在“一线三等角”的两个△相似（图2中，△BPA∽△CQP）

　　问（1）AH=4

　　问（2）PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，△APQ∽△ABC的面积比是4:9，相似比是2:3，如上图，求出AP=10/3，MP=4/3.

　　问（3）0≤x≤3时，Rt△PAE∽Rt△BAF，BF=24/5，AP=2+x;(2+x):5=PE:24/5

　　PE=24x/25+48/25；3≤x≤9时，见下图

　　PE=-3x/5+33/5

　　问（4）先求一下扫描仪的速度，v=9/36=1/4.分两段0≤x≤3及3≤x≤9讨论，从△APQ能包含K点的P的路程入手。0≤x≤3时，3-（9/4-2）=11/4。

　　3≤x≤9时，注意，CQ的长度≤11/4时，都能扫到。

　　△BPA∽△CQP入手，

　　CQ是一个关于x的二次函数，注意当CQ的长度≤11/4，有两段，长度和是3.

　　总长度和：3+11/4=23/4，速度是1/4，时长：23S.

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