九年级计算天天练，二次函数与一元二次方程，不等式之间的关系

　　在前面几节内容中，我们主要介绍了一元二次方程，相似三角形，圆，锐角三角函数相关内容，本篇文章接着介绍二次函数与一元二次方程，不等式之间的关系。

　　01二次函数与一元二次方程的关系

　　一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。求二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax^2+bx+c=0中x的值的问题，此时二次函数就转化为一元二次方程。

　　二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点；这对应着一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。它们的关系如下表：

　　

　　二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）图象与x轴的交点的个数由△=b^2-4ac的值来确定。

　　（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，△>0， 方程有两个不相等的实根;

　　（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，△=0， 方程有两个相等的实

　　根；

　　（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，△=<0, 方程没有实根。

　　02抛物线与x轴两交点的距离公式

　　抛物线与x轴两交点之间的距离公式：若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）与x轴两交点为A(x1，0)， B(x2，0)，且x2＞x1，那么两交点之间的距离为：d=x2-x1。若二次函数中含有参数，那么我们可以借助韦达定理，距离公式和完全平方公式进行推导。可以得到如下公式：

　　

　　通过该公式可以求出抛物线与x轴两交点之间的距离。

　　03利用图像求一元二次方程的近似根

　　我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解，由于作图或观察可能有误差，由图象求得的解一般是近似的利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下:

　　（1）作出二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象， 由图象确定与x轴交点的个数，即方程解的个数；

　　（2）观察图象与x轴的交点在哪两个数之间，即确定交点的横坐标的取值范围；

　　（3）在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似解近似解出现在对应y值正负交替的地方。当x由x1到x2，对应的y值出现y1>0，y2<0（或 y1<0<y2）时，则x1，x2中必有一个是方程的近似解。

　　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的常用方法如下表：

　　

　　要学会看表，也要学会利用数形结合的思想进行解题，这类题目可能会与反比例函数或一次函数结合起来一起考查。

　　04二次函数与一元二次不等式的关系

　　二次函数y=ax^2+bx+c（a＞0）与一元二次不等式ax^2+bx+c＞0及ax^2 +bx+c<0之间的关系如下(x1<x2)：

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