一题多解，各显神通——2023年北京中考数学第27题

时间：2023-07-31

　　一题多解，各显神通

　　2023年北京中考数学第27题

　　优秀的初中几何压轴题，通常情况下入口较宽，以容纳不同思维习惯的学生，无论擅长哪种几何构型，都能找到不同的解题思路。对于学生而言，解题思路一定要从题目条件出发，顺藤摸瓜，分析每个条件背后的含义，将可能推导出的结论连接成知识网络；对于教师而言，命制一道优秀的几何题，离不开对平时教学的研究，特别是几何图形间的内在联系。

　　题目

　　在△ABC中，∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.

　　(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；

　　(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明.

　　解析：

　　(1)我们首先连接ME，由旋转可知，△DME为等腰三角形，如下图：

　　因为∠EDM=2α=2∠C，且∠EDM是△CDE外角，于是∠DEC=∠C，得DE=DC，我们得到DE=DC=DM，即点D是MC中点；

　　(2)紧接前面的思考，寻找前后两小问间的联系，现在点D依然是中点，但不是MC中点，而是FC中点，由旋转DE=DM且∠EDM=2α依然成立；

　　然后我们分析出现在BC边上的两个中点M和D，BM=CM=1/2BC，DF=DC=1/2CF，其中BC-FC=BF，CM-DC=DM，所以我们还能得到DM=1/2BF，考虑到线段DM的端点D为中点，因此我们可构造中位线模型，如下图：

　　方法一

　　延长FE至点G使EG=FE，连接AG，CG，AF，显然DE是△CFG中位线，因此DE=1/2CG，于是BF=CG，再加上AB=AC，观察图中的△ABF和△ACG，我们来证明它们全等，现在只差一个条件即夹角相等；

　　由中位线DE∥CG，得∠DCG=∠MDE=2α，所以∠ACG=α=∠B，于是△ABF≌△ACG，所以AF=AG，在等腰△AFG中，由三线合一可证AE⊥FG，即∠AEF=90°；

　　继续探索新的解题思路：

　　方法二

　　连接AF之后，在Rt△AFM斜边上取中点G，再连接DG，我们又得到一条中位线，如下图：

　　再连接GM，GE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得GM=1/2AF，由DG∥AC可得∠MDG=∠C=α，于是∠MDG=∠EDG=α，所以可证明△MDG≌△EDG，得到GM=GE，我们证明了GE=1/2AF，接下来可利用三角形内角和证明∠AEF=90°；也可证A、E、F三点共圆，从而∠AEF=90°；

　　在前面的探索过程中，我们还可以选择另一条路：

　　方法三

　　连接AF，EM，过点D作EM的垂线DG，如下图：

　　这显然是利用等腰△EDM中三线合一，得到Rt△DMG，以及∠MDG=α，其中∠MDG+∠DMG=90°，∠AME+∠DMG=90°，所以∠AME=∠MDG=α=∠B，我们观察△ABF与△AME，推导如下:

　　于是我们能证明△AME∽△ABF，并由这一对相似三角形得到AM:AB=AE:AF，再证明∠BAM=∠FAE，即可得到第二对相似三角形，△ABM∽△AFE，于是∠AEF=∠AMB=90°；

　　探索到这个份上，已经出现过多次直角三角形，显然我们还可以利用共圆来证明：

　　方法四

　　我们将DE延长，交AC于点G，连接AF，FG，EM，如下图：

　　借助第1问的推导，我们可证明DC=DG=DF，于是点C、F、G三点共圆，且CF为直径，所以∠FGC=90°，于是得到另外一个直角三角形，Rt△AFG，再观察Rt△AFM，它们有公共斜边，于是A、F、M、G四点共圆，不妨作出这个圆，可知DG与圆相交于点E，即点E也在这个圆上，于是直径所对圆周角∠AEF=90°.

　　解题反思

　　本题解法还能继续探索，和已有的中位线、全等三角形、相似三角形、圆等思路相比，不过是不同的排列组合，也就是说，无论学生对以上主体思路中哪一种较为擅长，终能找到适合自已的方法。

　　对平时教学的指导意义，本题图形结构较为简单，一个等腰三角形，一个动点，赋予旋转和中点意义之后，整个图形就活了，既能构造旋转全等或相似，也可以构造中位线，并且相互关联得到更多新的结论，其中丰富的直角三角形，除了用于导角之外，还可以借助斜边上的中线，以及寻找共斜边的直角三角形，发现隐圆，从而由直线型跳到圆弧型构图。我们在初中三年的几何教学中，是否引导学生深入理解图形构造，显得极为重要。在解题思路的引导上，上述方法均由条件出发，借助平时例题或习题中的常见思维，得到最后的结论，所以在课堂教学中，也需要做到紧贴教材，不出现偏、难、怪的习题。

　　这道几何压轴题，仅仅用八年级数学知识，也能求解，并且难度不低，一道题目的区分度，不一定非要用九年级知识，这不禁令我想起了讲过的那年温州一次函数压轴题，命题者没有给自已设定条条框框，也没有出现思维惯势，我的思考是，为什么几何压轴题一定要用某种模式？不仅束缚了命题，也束缚了教师备考，更束缚了学生思维。

　　解题教学一直是初中数学教学的重要组成部分，在张钦博士主编的《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》一书，便从全国各地压轴题中遴选，并由一群热爱数学教学的教师编写，此书非常适合青年教师阅读，从中获得成长，强烈推荐！

　　教研参考书籍推荐

　　《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》（张钦著）

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