这道初中数学竞赛题太烧脑,年级学霸也被难倒,解题过程令人叫绝
各位朋友,大家好!今天,数学世界将为大家分享一道初中数学中比较烧脑的竞赛题。先请朋友们尝试做一做,然后看下面的分析和解答过程,相信大家一定会有收获!
例题:(初中数学竞赛题)如图所示,已知在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4.求证:1/AB + 1/AC = 1/BC.
这是一道求证线段比例式的几何题,给出的条件很少,图形也非常简单,绝大多数学生一看到这道几何证明题就彻底懵了,即使是学霸也被悉数难倒,其实也不怪他们,因为这是一道数学竞赛题,难度比较大。此题的考查知识点有相似三角形的判定及性质问题等。在做题时,必须将求证的结论进行变形,得出我们熟悉的线段比例式。解决此题的关键是以原三角形ABC为基础添加辅助线,构造一个三角形,使它与△ABC相似。下面,猫哥就与大家一起来解决这道例题吧!
分析:若要证1/AB + 1/AC = 1/BC,只需证明(AB+AC)/(AB·AC)=1/BC,进一步变形可以得到(AB+AC)/AC=AB/BC,为此若能设法利用长度分别为AB,BC,CA及(AB+AC)这4条线段,构造一对相似三角形,问题可能解决.由于△ABC中已含其中的三条线段,因此,不妨以原三角形ABC为基础,结合角的关系添加辅助线,构造一个与△ABC相似的三角形即可。
证明:延长AB至D,使BD=AC(此时AD=AB+AC),
延长BC至E,使AE=AC,连接ED.
设∠A=α,
∵∠A:∠B:∠C=1:2:4,
∴∠B=2α,∠C=4α,
由三角形内角和得∠A+∠B+∠C=7α=180°.
由作图知∠ACB是等腰三角形ACE的外角,
∴∠ACE=180°-4α=3α,
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α.
∴∠EAB=2α=∠EBA,
∴AE=BE.
∵由作图知道AE=AC,BD=AC,
∴BE=AE=BD,
∴△BDE是等腰三角形,
∴∠D=∠BED=α=∠CAB,
又∵∠EAD=2α=∠CBA,
∴△ABC∽△DAE,
∴AD/AE=AB/BC,
即(AB+AC)/AE=AB/BC,
等量代换得(AB+AC)/AC=AB/BC,
两边都除以AB,得
1/AB + 1/AC = 1/BC .
(完毕)
温馨提示:此文是原创作者猫哥一字一句打出来的,文中难免会出现一些小错误,还请大家谅解!数学世界不追求高难度题目,但一定是经典题型,希望大家喜欢。另外,若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法,欢迎留言参与讨论。谢谢!
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