1982年高考数学真题，求点的轨迹，初中生：这不是初中知识吗？

　　大家好！本文和大家分享一道1982年高考文科数学真题。这是一道求点的轨迹的题目，不少初中生看过题目后表示这就是一道初中几何题啊，而且能够一眼看出答案。那么是否真的如此呢？我们一起来看一下这道题。

　　

　　从题目来看，这确实是初中几何中的阿氏圆模型，所以不少初中生能够一眼看出点P的轨迹为圆。那么我们就先回顾一下初中关于阿氏圆的一些基础知识。

　　阿波罗尼斯圆简称阿氏圆，又被称为圆的第二定义，具体来说就是一个动点到两个定点的距离之比为不等于1的常数，那么这个动点的轨迹就是一个圆。

　　接下来我们先用初中的方法进行证明，然后再用高中的方法求解，大家可以进行比较。

　　首先，我们来看两个知识点：角平分线定理和外角平分线定理。

　　

　　如上图，∠APB的角平分线PM交AB于点M，则有PA:PB=MA:MB。

　　证明：如图，过点M作两边的垂线，则MC=MD，且S△APM:S△BPM=MA:MB(等高模型)。

　　又S△APM=PA·MC/2，S△BPM=PB·MD/2，所以PA·MC:PB·MD=MA:MB。

　　又MC=MD，所以PA:PB=MA:MB。

　　当然，要证明角平分线定理还可以通过构造相似三角形来实现，有兴趣的可以自己试一下。

　　

　　如上图，PN是∠APB的外角平分线且交AB的延长线于点N，则有AP:PB=NA:NB。

　　简单证明：在AP的延长线上取一点Q，使得PQ=PB，则△PBN≌△PQN(SAS)，所以NB=NQ，且∠PNB=∠PNQ，即NP为∠ANQ的角平分线。

　　根据角平分线定理知，PA:PQ=NA:NQ，即PA:PB=NA:NB。

　　

　　如图，作∠APB的角平分线和外角平分线，容易得到点M和点N都是定点，那么线段MN的长度也为定值。

　　又PM、PN都是角平分线，则∠MPN=90°，也就是说线段MN所对的角也为定值，所以点P的轨迹就是一个圆。且由于∠MPN=90°，那么MN就是圆的直径。

　　用初中的知识确实能够求出点P的轨迹，但是大部分地区初中并没有学习圆的方程，所以初中知识并不能完全解决这道题，还是需要用到高中知识，接下来就看一下高中的方法。

　　

　　既然要求轨迹方程，那么就需要建立坐标系。我们可以AB所在直线为x轴，A到B为正方向，AB中点为原点建立平面直角坐标系，这样就可以得到A、B两点的坐标。然后设出点P的坐标，根据两点间距离公式表示出PA、PB的长，再代入已知关系并化简即可得到轨迹方程。

　　通过方程判断曲线类型时，因为是一个二元二次方程，且二次方的系数相等及没有xy这一项，所以这个方程就表示一个圆。

　　

　　这道题虽然用初中知识能判断出轨迹的类型，但是过程还是比较复杂，而且求不出轨迹方程。但是用解析几何的方法，不仅可以求出轨迹方程，而且过程更加简单，你觉得呢？

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