[导数研究]高中数学中条件形如f′(x)+p(x)f(x)+q(x)＜0的选择题

时间：2023-07-02

　　本文章是我经过一定观察总结的，没有找到前人的相关研究（或者说至少没有就高中难度研究），所以发出来作为自己的笔记，毕竟自己研究出来的东西还蛮有意思的。本文章需要一定的前置知识：1.导数的概念起码学过本文章主要内容：本方法流程以及其想法、积分、一阶线性微分方程的解由于定积分在本文章用不到，故不做介绍；此外本文章所指都为一元函数，多元函数不做考虑Remark:如果是考试里，可以先试试代几个特殊函数进去看看成不成立（尤其是常函数），如果常函数代入成立的话直接当常函数选就可以了，可以节省时间，实在代不出来再用这个方法

　　已经有相关前置知识的可以直接去第4部分，或者直接看速通

　　已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$ ，若 $xf'(x)+x^2<f(x)$ 对 $x\in(0,+\infty)$ 恒成立，则（）A. $2f(1)>f(2)+2$ B. $2f(1)<f(2)+2$ C. $3f(1)>f(3)+3$ D. $3f(1)<f(3)+3$ 在许多同学初遇这类题的时候，学到的方法都是构造（观察条件或者选项）。例如该题的参考答案：

　　令 $g(x):=\dfrac{f(x)+x^2}{x},x\in(0,+\infty)$ ，则 $g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)+x^2}{x^2}<0$ ，进而有 $g(1)>g(2)>g(3)$ ，故选AC但这种不带有想法的过程难免会让人感到膈应和莫名其妙，这些函数到底是怎么构造出来的？带着这种想法我们先来学下前置知识，再来考虑一下一一般的情况。

　　若有 $y'+p(x)y+q(x)<0$ ，以 $xy'-2y<3,x\in(-\infty,0)$ 为例（随手给的例子x）①化成形如左侧式子的标准式子（注意不等号方向改变）: $y'-\frac{2}{x}y-\frac{3}{x}>0\\$ ②计算 $p(x)$ 的不定积分 $P(x)$ （即 $y$ 前的系数函数）: $P(x)=\int-\frac{2}{x}\mathrm{d}x=-2\ln x+\mathrm{C}\\$ ③取无常数部分，两边同时乘上 $e^{P(x)}$ （注意不等号方向可能改变），由于只是为了配凑，此处取 $\rm{C}=0$ 即可， $e^{P(x)}=e^{-2\ln x}=x^{-2}\\$ $x^{-2}y'-2x^{-3}y-3x^{-3}>0\\$ ④左侧此时即可转化成某个函数的导数（至于为什么可以看下面的3.2.2），可以记住这个函数就是 $ye^{P(x)}$ ，在此处即为 $x^{-2}y$ ，可以自行验证，因此就有下式: $(x^{-2}y)'-3x^{-3}>0\\$ ⑤将剩余部分（ $-3x^{-3}$ ）转换为某个函数的导数，即它常数取零的不定积分， $\int-3x^{-3}\mathrm{d}x=\frac{3}{2}x^{-2}+\rm{C}\\$ 由导数的加法法则放入左边括号内即可，因此得到： $(x^{-2}y+\frac{3}{2}x^{-2})'>0\\$ 至此就得到了某个函数的单调性，一般来说这类题目也是根据此函数的单调性做文章的

　　微分是指某个微小的变化量（姑且可以这么理解），与导数有这样的关系: $y'=\dfrac{{\rm{d}}y }{{\rm{d}}x}$ ，即导数是 $y$ 的微小增量对 $x$ 的微小增量的比值，其中的“微小”是指增量趋近于0时。

　　实际上，导数可以看做是求因变量微分的一种方法，即 $\mathrm{d}y=y'\mathrm{d}x$ ，因此高中学的导数表对微分也适用。

　　微分具有如下性质（与导数类似，其中 $a,b$ 为关于 $x$ 的函数， $c_1,c_2$ 为任意常数， $y(u)$ 为一可导函数）：

　　 $\mathrm{d}(c_1a+c_2b)=c_1\mathrm{d}a+c_2\mathrm{d}b$ $\mathrm{d}(ab)=a\mathrm{d}b+b\mathrm{d}a$ $\mathrm{d}\dfrac{a}{b}=\dfrac{b\mathrm{d}a-a\mathrm{d}b}{b^2}$ $\mathrm{d}[y(u)]=y'(u)\mathrm{d}u$ （此处两边同除 $\mathrm{d}x$ 可得到导数的链式法则）微分表：例如 $\mathrm{d}\sin{x}=\cos{x}\mathrm{d}x$ 、 $\mathrm{d}(x^{n})=nx^{n-1}\mathrm{d}x$ 等等，与导数相同，此处不再赘述。初等函数几乎处处光滑（光滑即无穷阶可导），也就是说你在高中范围内碰到的有解析式的函数都可以直接导，没给出解析式的，题目也会告诉你是可导函数需要注意的是，有些函数取微分/导数后，其表面的定义域可能会变化，需要手动进行规定，例如 $(\ln{x})'=\frac{1}{x}$ 并不是等价变换的，需要限定 $x>0$ ，实际上 $(\ln$ 才是等价变换。还有化简方面， $\ln x^2=2\ln$ 才是等价变换。

　　积分分为定积分和不定积分，其中不定积分可以看做微分的逆运算，即 $\begin{align}\int\mathrm{d}y=y+\mathrm{C}\end{align}$ ，其中的 $\rm{C}$ 表示任意常数。为什么会有这个常数呢？这就好比开方和平方：

　　对于平方，实数内可能会有多个数经过平方后得到同个结果，例如 $-1$ , $1$ 平方后都是 $1$ 。微分也是如此，有多个函数经过微分运算会得到同个结果，例如 $y=x+1$ , $w=x+2$ 等经过对 $x$ 的微分后都是得到 $1\cdot \mathrm{d}x$ （注：此处可省略 $1$ 简写为 $\mathrm{d}x$ ），而这所有满足微分结果是 $1\cdot\mathrm{d}x$ 的函数就组成了其不定积分，也就是 $\begin{align}\int\mathrm{d}x=x+\mathrm{C}\end{align}$ 。（注：每一个满足 $F'(x)=f(x)$ 的 $F(x)$ ，都可以称为 $f(x)$ 的不定积分，也称作原函数）

　　积分具有如下性质：( $Y,W$ 是可积函数 $y,w$ 的原函数, $c$ 是任意常数）

　　 $\begin{align}\int y\mathrm{d}x=\int\mathrm{d}Y=Y+\mathrm{C}\end{align}$ （积分的计算方法，不过经常省略中间的一项，其中 $y$ 称作被积函数， $\mathrm{d}x$ 被称作积分变量） $\begin{align}\int (c_1y+c_2w)\mathrm{d}x=c_1\int y\mathrm{d}x+c_2\int w\mathrm{d}x\end{align}$ （线性） $\begin{align*}(\int y\mathrm{d}x)'=y-c_y\end{align*}$ ，此处的 $c_y$ 为 $y$ 中常数项，即一个函数可以写成其积分的导数加上其常数项的和 $\begin{align}\int ab'\mathrm{d}x=\int a\mathrm{d}b=ab-\int b\mathrm{d}a=ab-\int ba'\mathrm{d}x\end{align}$ （分部积分公式）同微分，需要注意一下定义域的问题， $\frac{1}{x}$ 的积分应当是 $\ln$ ，而非 $\ln{x}+\mathrm{C}$

　　一阶线性微分方程是指形如 $y'+p(x)y=q(x)$ 的方程。

　　其中，一阶是指该方程描述的是 $y'$ 和 $y$ 之间的关系，而不含 $y''$ 。线性是指该方程中函数对象的次数都是一次，不包含 $y^2$ 、 $y'^3$ 、 $\dfrac{1}{y'}$ 或 $e^{y}$ 、 $\ln{y'}$ 等。

　　齐次是指形如 $y'=p(x)y$ 的微分方程，相当于上述方程中的 $q(x)=0$ 。

　　 $y=\mathrm{C}e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\\$ 其中 $\mathrm{C}$ 是任意常数，由于常数已经单独拿出来了，单独计算积分时不用再额外加上常数。如果给定了条件，例如 $y(1)=e$ ，则可以将 $C$ 的数值解出来。

　　对于这种简单的微分方程，可以直接解方程：将导数写成微分的形式，我们有（此处 $p(x)$ 简写为 $p$ ） $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=py\\$ 将 $x$ 和 $y$ 进行变量分离，我们有 $\frac{1}{y}\mathrm{d}y=p\mathrm{d}x\\$ 两边同时积分，得到 $\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int{p\mathrm{d}x}\\$ 根据微分表（导数表）将被积函数放到微分内，记 $p(x)$ 的原函数为 $P$ 有 $\int\mathrm{d}\ln{$ 因此就有 $\ln$ 其中两个常数可以合并为一个，两边同时取自然指数函数就得到了 $|y$ 将绝对值改为正负，得到 $y=\pm e^\mathrm{C}e^P\\$ 其中 $\pm e^{\mathrm{C}}$ 可以合并成任意非零常数而 $y=0$ 的情况同样满足上述微分方程，因此就得到了结论 $y=\mathrm{C}e^P=\mathrm{C}e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\\$

　　其中，非其次是指 $y'+p(x)y=q(x)$ 中的 $q(x)$ 不为 $0$

　　 $y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}(\mathrm{C}+\int q(x)e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x)\\$ 其中 $\mathrm{C}$ 为任意常数，而对 $p(x)$ 的积分中，由于常数会消去，就不用加上常数项了。先不必害怕结论这么长，这只是为了得出答案的形式上的结论，如果作为方法，我们可以按照3.2.3中所说使用。

　　（为了简洁明了，以下以 $y$ 代替 $f(x)$ ，以 $p,q$ 代替 $p(x),q(x)$ ）

　　很显然，如果是形如这样的方程： $y'=q(x)$ ，我们能立马得出 $\begin{align*}y=\int{q(x)\mathrm{d}x}+\rm{C}\end{align*}$ ，因此我们可以考虑构造一个函数，使得 $A(y'+py)=t'$ ，其中 $A$ 是我们需要构造出来的一个函数。

　　观察形式我们可以考虑导数的乘法公式 $(wy)'=wy'+w'y$ ，与上述式子对应相等，我们得到如下方程组： $\left\{ \begin{array}{l} t=wy\\w=A\\Ap=w' \end{array} \right.\\$ 联立后两个式子，我们得到 $w'=pw\\$ 那么根据3.1.1的结论，我们有 $w=\mathrm{C}e^P\\$ 因此，根据构造，我们有 $\mathrm{C}e^P(y'+py)=(y\mathrm{C}e^P)'\\$ 这样我们就找到了我们需要的构造（这是很合理的，对右侧使用导数的乘法法则和链式法则就能得到左侧）

　　接下来代回原来的微分方程 $y'+p(x)y=q(x)$ ，我们就有 $(y\mathrm{C}e^P)'=q\mathrm{C}e^P\\$ 两边同时积分就有 $y\mathrm{C}e^P=\int q\mathrm{C}e^P\mathrm{d}x+\mathrm{C}'\\$ 由于积分的线性，可以将右边的常数 $\mathrm{C}$ 提到积分外边，与左侧消去得到（这里不必考虑 $\mathrm{C}=0$ 的情况，因为两边乘的 $w$ 含不含常数取决于我们要不要，既然没有常数项也可以通过这个构造得出结果，那么取其不等0的情况即可），下将 $\mathrm{C}'$ 记作 $\mathrm{C}$ $ye^P=\int qe^P\mathrm{d}x+C\\$ 再将 $e^P$ 除到右侧，就得到了 $\begin{align*}y&=e^{-P}(\mathrm{C}+\int qe^P\mathrm{d}x)\\&=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}(\mathrm{C}+\int q(x)e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x)\end{align*}\\$

　　若是为了解一些具体的微分方程，则不必直接硬代入公式内，可以直接进行推导中最关键的构造，化为标准形式后两边同时乘以 $e^{P}$ 。

　　求解 $y'=5x+y$ 。将其化为标准形式，我们有 $y'-y=5x\\$ 计算 $e^P=e^{\int{-1\mathrm{d}x}}=e^{-x}$ ，两边同乘 $e^{-x}$ 得到 $(ye^{-x})'=5xe^{-x}$ ，积分得到 $y=5e^x\int{xe^{-x}\mathrm{d}x}\\$ 接下来利用分部积分法求积分部分 $\begin{align*}\int{xe^{-x}\mathrm{d}x}&=-\int x\mathrm{d}e^{-x}\\&=\int e^{-x}\mathrm{d}x-xe^{-x}\\&=-e^{-x}-xe^{-x}+\mathrm{C}\end{align*}\\$ 因此就得到了 $y=-5-5x+\mathrm{C}e^x$

　　由上面的知识，我们其实可以称题中形如 $f′(x)+p(x)f(x)+q(x)<0$ 的东西为一阶线性微分不等式，下面我们来讲述其构造方法。

　　同样的，我们希望左侧是某个函数的导数，这样我们就能知道这个函数的单调性，不过因为已经有了先前推导的经验，我们这回直接乘上 $e^P$ ，得到（此处需要注意， $e^P$ 可能是负的，例如 $P=\ln x$ 时，因此需要根据具体情况考虑不等式是否变向） $(ye^P)'+qeP<0\\$ 接下来做变形，将 $qe^P$ 写成其积分的导数加上其常数项的形式，使得左边两项能够合并，其中 $(ye^P)'+(\int{qe^P\mathrm{d}x)'+c_{qe^P}}<0\\$ 再将 $c(qe^P)$ 进行同样的变形，有 $(ye^P)'+(\int{qe^P\mathrm{d}x)'+(c_{qe^P}x)'}<0\\$ 因此就得到了 $(ye^P+\int{qe^P\mathrm{d}x+c_{qe^P}x)'}<0\\$ 也就是函数 $\begin{align*}h(x)=ye^P+\int qe^P\mathrm{d}x+c_{qe^P}x\end{align*}$ 在对应区间单调递减，其中 $\begin{align}P=\int{p(x)\mathrm{d}x}\end{align}$ ， $c_{qe^P}$ 为函数 $qe^P$ 的常数项。

　　据此利用该构造解决这类的大部分问题，当然直接记公式是比较麻烦的，我们可以将其总结为一个流程：①化为标准式子 $y'+py+q<0$ （不等号方向无所谓）②计算并两边同时乘上 $e^P$ ，③将剩余部分化进导数号里面（一般来说高中内的题都是相当好化的）

　　以下是利用该思路可以解决的例题，当然如果读者有不知道怎么用该方法处理的高中题目或者认为无法用该方法处理的高中题，都可以在评论里找我康康（因为我不看私信x 也没什么人私信我，评论反而更醒目一些x）

　　例题一、已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数， $f(1)=2$ ，且 $f(x)+\frac{1}{3}f'(x)<1$ ，则不等式 $f(x)-e^{3-3x}>1$ 的解集为______.先将条件化为标准式子： $y'+3y-3<0$ ，计算 $e^P=e^{\int3\mathrm{d}x}=e^{3x}$ ，两边同时乘上 $e^{3x}$ 得到 $(ye^{3x})'-3e^{3x}<0$ ，将后面式子化到导数内，得到 $(ye^{3x}-e^{3x})'<0$ ，即 $h(x)=ye^{3x}-e^{3x}$ 在 $R_+$ 上单调递减，因此 $\forall x\in(0,1),h(x)>h(1)$ ，即 $y-e^{3-3x}>1$ ，所以解集为 $(0,1)$

　　例题二（我在序中给的题）、已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$ ，若 $xf'(x)+x^2<f(x)$ 对 $x\in(0,+\infty)$ 恒成立，则（） A. $2f(1)>f(2)+2$ B. $2f(1)<f(2)+2$ C. $3f(1)>f(3)+3$ D. $3f(1)<f(3)+3$ $y'-\frac{1}{x}y+x<0$ ， $e^P=e^{-\ln x}=\frac{1}{x}$ ，故 $(\frac{y}{x})'+1<0$ ，即 $(\frac{y}{x}+x)'<0$ ，后面不赘述了x