2022年新高考数学全国卷II真题分析，圆与直线有公共点问题

　　这是2022年新高考数学全国卷II的一道填空题，涉及直线的轴对称关系，直线与圆相割或相切的问题。

　　设点A(-2,3), B(0,a), 直线AB关于直线y=a的对称直线为l, 已知l与圆C：(x+3)^2+(y+2)^2=1有公共点，则a的取值范围为______.

　　利用图形，或许能找到更简便的解法

　　分析：第一步，先写出A, B关于y=a的对称点坐标，分别是A’(-2, 2a-3), B(0,a). 因为B点在对称轴上，所以对称点还是它本身。而对称轴平行于x轴的对称点，横坐标相等，纵坐标y1+y2=2a. 其实就是中点坐标公式的应用。

　　然后写出直线l的解析式，可以先写出点斜式y=-(a-3)(x-a)/2，然后转化成斜截式：y=(3-a)x/2+a，或一般式：(3-a)x-2y+2a=0. 不同的形式，有不同的解法。

　　列斜截式是为了方便列直线l和圆C的交点方程：(x+3)^2+((3-a)x/2+a+2)^2=1, 因为只要直接代入就可以了。

　　然后化为关于x的一元二次方程的一般形式：(1+(3-a)^2/4)x^2-(a^2-a-12)x+(a^2+4a+12)=0.

　　直线l和圆C有公共点，说明这个一元二次方程的判别式不小于0，即:

　　(a^2-a-12)^2-(4+(3-a)^2)(a^2+4a+12)≥0, 化简不等式：

　　a^4-2a^3-23a^2+24a+144-a^4+2a^3-a^2+20a-156≥0, 6a^2-11a+3≤0.

　　解得：1/3≤a≤3/2.

　　如果你是这样做的话，那你肯定不是一个学霸。相信上面这种方法是比较容易想到的。然而有一种简便得多的方法，应该是利用点到直线的距离公式。依据圆心C到直线l的距离不大于半径时，直线l就与圆C有公共点的原理。这时候就要运用到直线l的一般式了，由点到直线的距离公式列方程得：

　　|-3(3-a)+4+2a|/√((3-a)^2+4) ≤1. 解得：1/3≤a≤3/2.

　　

　　瞧，两步就可以解决的问题，老黄一开始用了多少步，走了多少弯路。不过走弯路能解得出来，总比解不出来好，你说对吧？

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