中考数学真题：这条线段长度很多同学说难求，原来忽略了这条定理

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　　根据相似三角形的性质求解线段长度是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题方法，希望能给初三学生的数学复习带来帮助。

　　例题

　　如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD，BE相交于点F，若AF=4，EF=√2，求AC的长度。

　　解题过程：

　　连接CF，过点E作EG⊥AD于点G

　　根据题目中的条件：AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，则∠FAB=∠CAB/2，∠FBA=∠CBA/2；

　　根据题目中的条件：∠C=90°，则∠CAB+∠CBA=90°;

　　根据结论：∠CAB+∠CBA=90°，∠FAB=∠CAB/2，∠FBA=∠CBA/2，则∠FAB+∠FBA=45°；

　　根据外角的性质和结论：∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠FAB+∠FBA=45°，则∠AFE=45°；

　　根据题目中的条件和结论：EG⊥AD，∠AFE=45°，cos∠AFE=GF/EF=√2/2，EF=√2，则GF=1；

　　根据等角对等边性质和结论：∠AFE=∠FEG=45°，GF=1，则EG=GF=1；

　　根据题目中的条件和结论：AF=4，GF=1，则AG=AF-GF=3；

　　根据勾股定理和结论：EG⊥AD，AG=3，EG=1，则AE=√10；

　　根据内心的判定和题目中的条件：AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，则点F为△ABC的内心，即CF平分∠ACB；

　　根据题目中的条件和结论：∠ACB=90°，CF平分∠ACB，则∠ACF=∠ACB/2=45°;

　　根据相似三角形的判定和结论：∠ACF=∠AFE=45°，∠CAF=∠CAF，则△ACF∽△AFE；

　　根据相似三角形的性质和结论：△ACF∽△AFE，则AF/AE=AC/AF；

　　根据结论：AF/AE=AC/AF，AF=4，AE=√10，则AC=8√10/5。

　　结语

　　解决本题的关键是根据题目给出的两条角平分线的条件确定出三角形的内心，根据外角和角平分线性质得到角度间的等量关系，证明到一组相似三角形，添加辅助线构造出等腰直角三角形，求得相关线段的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质就可以求得题目需要的值。

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