中考数学专题复习：二次函数与等腰三角形的存在性问题解题技巧

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　　距离2022年中考还有约785天！

　　时光荏苒，日月如梭，今天离中考又近了一天，还剩下的这两个的月时间了我们的主要精力是什么？又重点复习什么知识呢？今天我们一起看看中考复习中最最最常见的专题复习——二次函数与等腰三角形的存在性问题，为什么探究二次函数与等腰三角形的问题，这部分知识是中考数学命题方向的一个热点，考察的内容比较全面，而且对于学生能力的要求也相对来说较高，所以很有必要拿出来说一说“二次函数与等腰三角形的存在性”问题，如若需要本文相关可打印的电子文档可移步文章结尾进行获取哦~

　　【问题举例】

　　如图，在直角坐标系中，已知点A的坐标为（2,1），点B的坐标为（6,4），求在x轴上的点C使得△ABC为等腰三角形．

　　【方法技巧】

　　根据“两圆一中垂”寻找对应坐标：

　　“两圆一中垂”含义：两圆则是依据已知的线段两个端点为圆心，该线段长为半径画圆，一中垂则是作该线段的中垂线；

　　【案例讨论】

　　（1）若AB为等腰三角形的底边，操作：

　　作AB的垂直平分线，与x轴的交点坐标即为所要求解的点C坐标，此时有CA=CB为腰长．

　　（2）若AB为等腰三角形的腰长，操作：

　　①以点A为圆心，线段AB的长为半径画圆，该圆与x轴的交点坐标即为所要求解的点C坐标，此时有AB=AC为腰长；

　　②以点B为圆心，线段AB的长为半径画圆，该圆与x轴的交点坐标即为所要求解的点C坐标，此时有BA=BC为腰长；

　　【特殊讨论】

　　通过“两圆一中垂”方法进行寻找所求点的坐标不难发现，“两圆”和“一中垂”会有两个交点，因而要根据实际情况严重该交点是否重合；

　　【如何求解】

　　我们通过“两圆一中垂”的方法仅能寻找到点的位置，而如何建立等量关系进行求解呢？总的来说可以选择利用勾股定理（两点之间的距离公式）、相似三角形、解直角三角形等方法表示出线段长，由线段的长进一步求解点的坐标；

　　【典例分析-1】

　　【2019江苏盐城中考第27题（前2问）】如图所示，二次函数y=k（x-1）^2+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．

　　（1）求A、B两点的横坐标；

　　（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

　　【典例解析-1】

　　（1）只需要将二次函数与一次函数进行联立即可得：k（x-1）^2+2=kx-k+2，

　　从而解得：x=1和2，

　　因此点A、B的坐标横坐标分别为1和2；

　　（2）该问已告知以OA为腰，又知道点A和点O的坐标，从而可以先利用两点的距离公式得出：OA=√2^2+1=5；

　　紧接着讨论：

　　①当OA=AB时，

　　即：1+k^2=5，解得：k=±2（舍去2）；

　　②当OA=OB时，

　　4+（k+2）^2=5，解得：k=-1或-3；

　　故k的值为：-1或-2或-3；

　　【典例分析-2】

　　【2019山东省泰安市中考第21题】已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=15/2．

　　（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

　　（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

　　【典例解析-2】

　　（1）如图，过点A作AD⊥x轴于D，

　　∵B（5，0），

　　∴OB=5，

　　∵S△OAB=15/2，

　　∴1/2×5×AD=15/2，

　　∴AD=3，

　　∵OB=AB，

　　∴AB=5，

　　在Rt△ADB中，BD=√AB^2-AD^2=4

　　∴OD=OB+BD=9，

　　∴A（9，3），

　　将点A坐标代入反比例函数y=m/x中得，m=9×3=27，

　　∴反比例函数的解析式为y=27/x，

　　将点A（9，3），B（5，0）代入直线y=kx+b中，

　　联立可得：k=3/4，b=-15/4；

　　∴直线AB的解析式为y=3/4x-15/4；

　　（2）由（1）知，AB=5，

　　∵△ABP是等腰三角形，

　　∴①当AB=PB时，

　　∴PB=5，

　　∴P（0，0）或（10，0），

　　②当AB=AP时，如图，

　　由（1）知，BD=4，

　　易知，点P与点B关于AD对称，

　　∴DP=BD=4，

　　∴OP=5+4+4=13，∴P（13，0），

　　③当PB=AP时，设P（a，0），

　　∵A（9，3），B（5，0），

　　∴AP^2=（9-a）^2+9，BP^2=（5-a）^2，

　　∴（9-a）^2+9=（5-a）^2

　　∴a=65/8，

　　∴P（65/8，0），

　　即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（65/8，0）．

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