初二数学期中复习,这道动点题很难,用勾股定理分类讨论轻松求解
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求满足条件的动点是初二数学的常考压轴题型,也是很多同学比较犯难的题型,本文就例题详细解析关于三角形的动点问题的解题方法,希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图1,△ABC中,CD⊥AB于点D,且BD:AD:CD=2:3:4,
(1)试证明△ABC是等腰三角形;
(2)已知S△ABC=40,如图2,动点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止,设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求t的值;若不能,请说明理由。
1、证明:△ABC是等腰三角形
设BD=2k,AD=3k,CD=4k
根据勾股定理:CD⊥AB,BD=2k,CD=4k,BC^2=BD^2+CD^2,则BC=2√5k;
根据勾股定理:CD⊥AB,AD=3k,CD=4k,AC^2=AD^2+CD^2,则AC=5k;
根据题目中的条件:BD=2k,AD=3k,则AB=AD+BD=5k;
根据结论:AC=5k,AB=5k,则AC=AB,即△ABC是等腰三角形。
2、当△DMN的边与BC平行时,求t的值
根据三角形面积公式和题目中的条件、结论:AB=5k,CD=4k,S△ABC=40,则S△ABC=AB*CD/2=40,可求得k=2;
根据结论:BD=2k,AD=3k,CD=4k,AB=5k,k=2,则BD=4,AD=6,CD=8,AB=10;
(1)DN∥BC
根据平行线的性质和题目中的条件:两直线平行同位角相等,DN∥BC,则∠ADN=∠B,∠AND=∠ACB;
根据等边对等角性质和结论:AC=AB,则∠B=∠ACB;
根据结论:∠ADN=∠B,∠AND=∠ACB,∠B=∠ACB,则∠ADN=∠AND;
根据等角对等边性质和结论:∠ADN=∠AND,则AN=AD;
根据结论:AD=6,AN=AD,则AN=6;
根据题目中的条件和结论:点N的运动速度为1个单位长度/s,运动距离AN=6,则运动时间t=6。
(2)MN∥BC
根据平行线的性质和题目中的条件:两直线平行同位角相等,MN∥BC,则∠AMN=∠B,∠ANM=∠ACB;
根据结论:∠AMN=∠B,∠ANM=∠ACB,∠B=∠ACB,则∠AMN=∠ANM;
根据等角对等边性质和结论:∠AMN=∠ANM,则AN=AM;
根据题目中的条件和结论:点M、N的运动速度均为1个单位长度/s,运动ts,则点M的运动距离BM=t,点N的运动距离AN=t;
根据结论:BM=t,AB=BM+AM,AB=10,则AM=10-t;
根据结论:AM=10-t,AN=t,AN=AM,则t=5。
所以,当△DMN的边与BC平行,t的值为5或6。
3、当△MDE为等腰三角形时,求t的值
根据结论:BM=t,BD=4,则MD=BM-BD=t-4;
根据直角三角形的性质和题目中条件:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,CD⊥AB,点E是边AC的中点,则DE=CE=AE=AC/2;
根据结论:AC=10,DE=AC/2,则DE=5;
(1)MD=ME
过点E作EF⊥AD于点F
根据平行线的判定和结论:EF⊥AD,CD⊥AB,则EF∥CD;
根据中位线定理和结论:EF∥CD,点E是边AC的中点,则EF=CD/2,DF=AD/2;
根据结论:EF=CD/2,DF=AD/2,CD=8,AD=6,则EF=4,DF=3;
根据题目中的条件和结论:MD=ME,MD=t-4,则ME=t-4;
根据结论:MD=t-4,DF=3,则MF=MD-DF=t-7;
根据勾股定理和结论:EF⊥AD,EF=4,MF=t-7,ME=t-4,ME^2=EF^2+MF^2,则t=49/6。
(2)ME=DE
根据题目中的条件和结论:DE=AE,ME=DE,则点M与点A重合;
根据结论:AB=10,点M与点A重合,则BM=10;
根据题目中的条件和结论:点M的运动速度为1个单位长度/s,运动距离BM=10,则运动时间t=10。
(3)MD=DE
根据题目中的条件和结论:MD=DE,DE=5,MD=t-4,则t-4=5,可求得t=9。
所以,当△MDE为等腰三角形时,t的值为49/6或10或9。
结语
解决本题的关键是根据等腰三角形性质得到线段之间的数量关系,把线段用含t的代数式表示,再利用勾股定理列出含有t的方程进行求解。
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