1道经典初中数学竞赛题：解方程组，正确率不到2％，学霸也发愁

　　大家好！本文和大家分享一道经典的初中数学竞赛题：解方程组x+y+√[(x+2)(y+3)]=34，(x+2)+(y+3)+(x+2)(y+3)=741。据说这道题的正确率不到2％，不少学霸看了也发愁。下面一起来看一下这道难住众多学霸的竞赛题。

　　这又是根式方程的题目，所以还是可以用解根式方程的常用方法：换元法。

　　令：√(x+2)=m(m≥0)，则x+2=m，(x+2)=m^4；√(y+3)=n(n≥0)，则y+3=n，(y+3)=n^4。为了方便表示，将方程组的两个方程分别标号①和②。

　　对于方程①，可以变换一下，左右两边同时加5，左边的5又拆成2和3，分别于x和y组合，即可变成(x+2)+(y+3)+√[(x+2)(y+3)]=39，所以原方程组就可以变为关于m和n的方程组m+n+mn=39，m^4+n^4+mn=741。

　　换元这一步对很多学生来说问题不大，难的是后面的处理，这也是难住考生的地方。

　　换元后得到的方程组，两个方程形式非常像，但是第二个方程的次数更高，所以可以考虑从第二个方程入手。

　　先将四次方进行配方，m^4+n^4=(m+n)-2mn，所以左边就变成了(m+n)-mn。仔细观察一下还可以继续用平方差公式进行因式分解，得到(m+mn+n)(m-mn+n)=741，即m-mn+n=19。再联合第一个方程可以得到m+n=7，mn=10。

　　接下来就需要求出m、n的值了。求m、n的值有两个方法：

　　一是用m表示n，或者用n表示m，再代入另一个关系式中。比如m=7-n，则(7-n)n=10，再求解。

　　二是构造一个一元二次方程x-7x+10=0，则m、n就是这个方程的两个根，这样更容易解出m、n。

　　求解出m、n的值后，就需要求x、y的值了。

　　因为m=2，n=5或者m=5，n=2，所以√(x+2)=2，√(y+3)=5，或者√(x+2)=5，√(y+3)=2，解得x=2，y=22或者x=23，y=1。这样原方程组就解出来。

　　本题的难点是换元后对式子的处理过程，实际用到的就是常用的配方法和平方差公式进行因式分解。当然，本题不换元也是可以求解的，但是式子太复杂不容易看出规律，而换元法则将方程进行了简化，方便计算。完整的解题过程见下图。

　　这道题就分享到这里，你还有什么更好的方法吗？欢迎交流！

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