《高中数学培优笔记

　　温州市瓯海区三溪中学 张明

　　这是一本跟数学高考压轴题有关的书，你如果想高考分数达到135以上，此书可以一看。其他学科也有这样的教辅书。因为教育是相通的，虽然学科不同。研究高考压轴题是高中教育的一个永恒主题。每门学科都一样，所以各科学科都有相类似的书籍。全国有一大批老师在研究高考压轴题，研究出成果后会结集出版。此书作者很特别，还是个大三学生，将来前途无限。对于这些书，我也就不客气先睹为快了。

　　2022.12.4

　　1、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）2022.11.18就寄到了，今天是2022.11.21。我上知乎把作者吴梓帆的情况了解了个大概。吴梓帆在知乎上的账号是：槿灵兮。吴老师高中是娄底市第一中学，相当于温州二中或瑞安中学，比温州中学要差一点。大学读的是是中国矿业大学（北京）数学系。2022软科中国大学排名，中国矿业大学排在第77位，浙江工业大学排名第66位。吴老师的功底相当于温州中学的中等生，温州二中或瑞安中学的偏优生。你看他知乎上文章，可以知道他大学数学也非常厉害。他现在还在读大学，可以预料，将来他是非常优秀的高中老师，只要他愿意当高中老师。此书与一般教辅书区别。一般教辅书可单节阅读，而此书注重内容思想的连贯性以及章节编排的逻辑性，借鉴了一些优秀本科生教材的编排方式。此书最佳阅读方式是从头至尾顺序渐进。但我只看到第15页，还区分不了此书与一般教辅书的差异。看此书，个人感觉书中试题难度介于高考中档题和压轴题之间。极少数试题是高考压轴题程度。

　　2、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）第三章看完了。我想到书名中“优”是什么意思？按我理解，就是高考数学分数达到120分以上。高考数学有120分是容易题和中档题，30分是难题。此书就是为解出那30分难题而准备的。它讲了高考大纲以外的一些数学知识，包括新概念、新定义、新公式、新定理、新技巧。比如阿波罗尼斯圆、张角定理、托勒密不等式、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、杠杆法、斜坐标系、奔驰定理、极化恒等式等。这些大纲以外的知识你可以不懂，但最好是懂。可以不懂，是因为知识属于大纲以外，你也不想高考得高分。最好是懂，是因为对高考得高分有帮助，你想在高考中得分超过120，最好懂这些。这些大纲以外的知识并不难理解，不会比理解高考压轴题难。懂这些相当于是在高考时多带了许多新装备，就像比武，本来赤手空拳，但因为懂了这些，所以多了一把赤刀。

　　上海的陈永明老师提出学习数学有三难。一难想不通，因为数学太抽象；二难想不到，因为技巧性太高；三难理不清，因为数学太复杂。但学生对于高考压轴题，大部分是第二难即想不到。高考压轴题不会很抽象以至于让人想不通。高考压轴题可能让人理不清，因为有点复杂，比如分类讨论理不清。而此书有助于学生高考压轴题想得到，也让学生可以理清高考压轴题。但最主要地还是帮助学生能对高考压轴题想得到，因为此书能让学生加深对数学的理解，学到许多数学新技巧。

　　3、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）看到《第四章圆锥曲线》里的《4.2焦准定义与极坐标》了。我感叹吴梓帆老师数学功底太好了，他将来不应当是高中老师，而应当成为高中老师的老师。吴梓帆现在是中国矿业大学（北京）数学系学生。《4.1.3Dandelin双球》与《4.2.1焦准定义》太难了，但吴梓帆老师却是很容易根轻松地娓娓道来。此两节是用几何法（综合法）研究圆锥曲线的定义和性质，也就是在圆锥里放两个内切球。它就是Dandelin双球模型。Dandelin双球模型的提出者是数学家丹德林（Dandelin）。大家百度：“Dandelin双球模型”或“丹德林双球模型”。这一巧妙的构造法，使之后的圆锥曲线的研究得到极大的发展。上海陈永明老师说学数学有三难。一难想不通，因为数学太抽象；二难想不到，因为灵活性太高；三难理不清，因为数学太复杂。而此两节难在数学太抽象，是想不通。因为理解此两节需要非常强大的空间想象能力。如果想不通，那数学水平就上不去，停留在那里，所以必须弄懂这两节。用几何法（综合法）研究圆锥曲线的定义和性质有个特点，那就是结论通俗易懂，但推导过程却是复杂抽象，图很乱，让人理不清。比如离心率e=cosβ/cosα，而α、β分别是圆锥的母线和平面σ与圆锥的轴线所成的角。这结论简单易记。

　　4、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）看到《第四章圆锥曲线》里的《4.5.2椭圆的参数方程》了。我想到又有一个老师以自己特有的方式对高中圆锥曲线的内容进行了解读。前有杭州苏立标老师的《圆锥曲线的秘密》和杭州闻杰老师的《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》。外国这本《圆锥曲线的几何性质》不算，此本作者是英国的A.科克肖特、F.B.沃尔特斯。因为太西方了。我对吴梓帆老师对高中圆锥曲线进行另一视角的解读深感幸运。不同人不同视角对高中圆锥曲线的解读相当于同一个圆锥曲线的故事有不同的人讲述，虽然其中区别目前还看不出来。它就像金庸的武侠小说比如《鹿鼎记》被不同的导演翻拍，拍起来各有特点，给人不同的精神愉悦。

　　第128页《4.6.2两根之差》看完了。我想到了苏立标老师、闻杰老师、吴梓帆老师对圆锥曲线的研究有什么区别。苏立标老师研究圆锥曲线偏向学术性，不止为了教学之用，比如为了高考。苏立标老师研究圆锥曲线有数学家研究数学的目的，为了探索大自然的奥秘。吴梓帆老师研究圆锥曲线偏向教学，为高考服务，题中解法比你解法要好，比如计算量要少许多。闻杰老师用高科技比如几何画板探索圆锥曲线是为了培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养，引导学生爱上数学。

　　5、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）《第四章圆锥曲线》只差2页就看完了。我想到此书作者吴梓帆老师介绍此书时说此书阅读模式不同于一般教辅书的阅读模式。一般教辅书是可以单节阅读，而此书却是要从头至尾循序渐进的阅读。看了第四章发现果然如此。《4.8.3蒙日圆》里证明蒙日圆即外准圆时用到了《3.4.2极化恒等式》里极化恒等式中一个结论。还有在《第三章向量》里《3.1.3杠杠法》里用杠杆法来证明《第二章解三角形》里的2.4.3小节里的梅涅劳斯定理和塞瓦定理。《4.7点、线、方程》里椭圆的内准圆与《4.8.3蒙日圆》里蒙日圆即外准圆前后呼应。《4.8.1阿基米德三角形》里的结论与《4.8.2蒙日圆》里【证法2参数方程与齐次化】呼应。

　　在圆锥曲线里有个设而不求方法。为什么圆锥曲线有设而不求方法？圆锥曲线的几何性质跟坐标系的选择无关，不管在哪个坐标系下，几何性质是不变的，圆锥曲线的几何性质是坐标系变换下的不变性质。如果设起来可以求出来，那几何性质就跟坐标系有关了。这是矛盾的，所以圆锥曲线有设而不求方法。你只管把点、线等设起来进行运算，不用求，最后会推出圆锥曲线不变的几何性质。

　　看《4.8.3蒙日圆》，我们就知道吴梓帆老师数学功底比我们高超在哪里？在证明椭圆或双曲线的蒙日圆即外准圆定理时，吴梓帆老师用了四种方法：标准联立、参数方程与齐次化、曲线系、光学性质。我们只会方法一即标准联立。我不知道这些方法是吴梓帆老师自己发现还是平时自己看书时从书中知道？如果是从其他书中知道，那吴梓帆老师看书时把书中解法记录下来，积少成多，最后整理成新书。如果吴梓帆老师是自己发现这些解法，那他数学功底太厉害了。所以看此书有个疑问？书中题目解法是吴梓帆老师原创还是从其他书中得来？或者两者都有。

　　于是此书《第四章圆锥曲线》看完了。

　　6、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）《第五章数列》看完了。我突然问自己，我为什么要看这样的书？我分析一下自己的潜意识，我发现我看这样书的理由是：第一层目的是能够会解高考压轴题，在没有时间限制的情况下；第二层目的是能够达到秒杀高考压轴题。我看此书想起了一位老师，他是华中师范大学毕业，在北京师范大学贵阳附属中学任教，他叫李鸿昌。我是通过看他写的书认识他的，他写的一本书是《高考题的高数探源与初等解法》。李鸿昌老师1991年生，吴梓帆老师大概2000年生，我1976年生。他们两位年龄比我小，但数学功底比我好。我在高中数学界，数学功底还可以。吴梓帆老师现在还在读大学，如果将来当老师也是辅导奥数，可以成为奥数金牌教练。李鸿昌老师也是奥数金牌教练。我想我问这两位，你们能够对高考压轴题做到秒杀吗？我看他俩的书下意识得也想成为他们一样的人。据我观察，他们两位对大部分高考压轴题能够做到秒杀，即一看到压轴题就知道解题思路如何发生发展，且正确率八九不离十。我觉得自己需要再接再厉，才能赶上他们。

　　此书副标题“灵活思考与技巧解析”表明了此书主要目的。压轴题难在哪里？我想起上海的陈永明老师学数学的“三难”理念。学数学有三难：一难想不通，因为太抽象；二难想不到，因为太灵活；三难理不清，因为太复杂。而此书表明压轴题难在灵活，技巧你是打破脑袋也想不到。吴梓帆老师写此书中干什么？就是去解释这些技巧是如何想到的。看了此书你会明白一些高超技巧的来龙去脉，它是如何出笼的。技巧要想到需要思维的灵活性、深刻性、广阔性，综合起来跟智商有关。看吴梓帆老师的书就是去提高自己的智商，看李鸿昌老师的书也是。

　　我有个坏毛病或者说是缺点：我不太喜欢解题。不管是李鸿昌老师还是吴梓帆老师都喜欢解题。全国绝大部分老师都不太喜欢解题。我比这些老师的可贵之处是我喜欢看题，即看别人解题，比如看李鸿昌老师、吴梓帆老师解题。正因为我不喜欢解题，所以不太可能达到秒杀高考压轴题的境界。我为什么不喜欢解题？其中原因之一也是没有生源相逼。我校学生问我的数学题绝大部分我都能秒杀。他们问的不会超过高考中档题。

　　7、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）看到《第六章函数与导数》里的《6.5预备问题》，且看完了。

　　这让我想起了以前看过的一本书即王海刚老师的《导数的秘密》，两本书都写有关函数和导数的内容。吴梓帆老师写的书是从函数的基础说起，比如先介绍函数的单调性、奇偶性、周期性、复合函数。再补充与高等数学有关的微分中值定理、泰勒展开式、洛必达法则等内容。最后回归跟导数高考压轴题有关的内容，比如导数不等式、隐零点代换、极值点偏移等，还有后面的放缩、分离参数、必要性探路等。这些内容只要有老师立志要写一本与高考压轴题有关的教辅书那就绕不过去。吴梓帆老师写，苏立标老师写，王海刚老师也写。高中数学教育有个永恒的主题，那就是研究高考压轴题。它是帮老师提高解题水平，助学生高考得高分。只要老师写这个主题，那这些内容通通绕不过去。这些内容被许多作者炒过来炒过去。我翻开此书参考文献，发现王海刚老师的《导数的秘密》也是参考文献之一。我在看《导数的秘密》时，觉得此书起码要看第二遍，因为只看一遍看得不透彻。不过以前是看了，但现在全忘了。我看吴梓帆老师的书《第六章函数与导数》也有这样的感慨，那就是只看一遍还不够，需要再看一遍，只看一遍还不能完全吸收作者观点，有些地方还想不到、想不通、理不清，于是我慢慢看。

　　我们数学老师都知道心理学上的建构主义。它指出了人是如何学习的，但老师一般是用来指导自己的教学，利用建构主义让学生学习数学知识。老师一般没有利用建构主义来指导自己学习。我们知道要让学生爱上学习，老师先要喜欢学习。那么我们老师有没有利用建构主义来指导自己学习呢？一般没有。那我们如何利用建构主义来指导我们老师的学习？建构主义中有两个核心概念:“同化、顺应”。

　　“同化”与“顺应”。同化是指把外部环境中的有关信息吸收进来并结合到儿童已有的认知结构（也称“图式”）中，即个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的儿童认知结构发生重组与改造的过程，即个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。可见，同化是认知结构数量的扩充（图式扩充），而顺应则是认知结构性质的改变（图式改变）。此段内容通过百度百科“建构主义”得知。

　　我们再来一个区别，即知识结构与认知结构的区别。大家百度“知识结构与认知结构的区别”就可以了。我转载一些区别。⑴数学的知识结构是客观的，对学生来说是外在的；数学的认知结构是主观的，对学生来说是内在的；(2)数学的知识结构是学生在学校能够通过学习掌握的；数学的认知结构是学生在认知数学内容的智能活动模式，有正误、优劣之分，在一定程度是体现了学生学习数学的能力； (3)同一数学知识结构的内容，可通过不同的数学认知结构去掌握，单纯的数学知识积累，不等于数学认知结构的形成；数学的认知结构有一个由简单到复杂，由低级到高级的发展过程。

　　而此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》就是作者吴梓帆老师认知结构的一种可视化再现。它让吴梓帆老师的认知结构以可以看见的方式呈现出来。同理，《圆锥曲线的秘密》《导数的秘密》也是作者苏立标老师或王海刚老师脑中认知结构的一种可视化再现。它以教辅书的形式让周围人能以看得见的方式呈现出来。

　　我们读者也有认知结构，可以肯定，我们读者的认知结构要比吴梓帆老师、苏立标老师、王海刚老师的认知结构低级，看这些书我们的认知结构虽然有同化行为，但更多的是顺应。它能让我们的认知结构性质产生改变，即变得更高级。所以我们要放下自己的自恋，去顺应吴梓帆老师、苏立标老师、王海刚老师的认知结构。这样我们就更容易理解吴梓帆老师、苏立标老师、王浩刚老师的数学。

　　《6.6.3凹凸性反转》也看完了。

　　8、此书《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》（吴梓帆 崔荣军◎编著）昨天（2022.12.3.18：00）看完了。

　　我有个感慨，觉得自己不适合搞高中数学教育。

　　我的数学有个天花板，那就是高考压轴题的最后一问。每位老师都有自己数学上的天花板。只有攻克了自己数学的天花板，数学水平才能提升。如何攻克自己的数学天花板？先看懂高人比如吴梓帆老师的解答，合上书后自己再推导一遍。但我是君子动脑不动手，我没有做题的习惯，我只看题。这妨碍了我数学水平的提高。我看此书《6.8笛卡尔模式》，发现吴梓帆老师都是亲自解高考压轴题，而不是转载解答。在此节中，他解答完高考压轴题后都写“注”，此“注”中表明了他解题历程和心得。我想起一首古诗，李清照的《如梦令·常记溪亭日暮》。常记溪亭日暮，沉醉不知归路。兴尽晚回舟，误入藕花深处。争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。我是误入高中数学教育深处。乱评，乱评，惊起一群师生呕吐。教好数学的必要条件之一就是你要喜欢解题，以解题为乐。我不具备。

　　其实对于绝大多数老师，一道高考压轴题够他解答三天三夜。而我们看高手（比如吴梓帆老师、苏立标老师、王海刚老师）解答，只需花几分钟就可以看懂解答。这会导致消化不良。所以看百题不如自己解一题。要想学会游泳必须亲自下水训炼，看别人游，自己是永远学不会的。我都是看别人游泳，但自己没有下水。所以搞数学教育天赋缺少了点。

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