2003年天津高考数学压轴题，高三学生：比现在简单多了

　　2003年高考全国卷数学试题成了当年很多考生的噩梦，不过一些地方卷的难度就要小很多了，算是正常难度的试卷，比如天津卷。本文就和大家分享一下这道2003年天津高考数学的压轴题。现在不少高三学生看到后，直言这道题比起现在的高考压轴题要简单很多。

　　

　　这是一道综合考查数列相关知识的题目，形式上看起来还是比较复杂，但是难度并不算大。

　　首先看第一问，本文介绍两种证明方法。

　　数学归纳法是证明与n有关结论非常好用的一种方法。

　　先证明n=1时，结论成立。这一步很简单，直接计算就可以。

　　接下来才是数学归纳法证明的重点。先设当n=k时结论成立，然后通过题干中给出的an与a(n-1)的关系式计算出当n=k+1时结论也成立。综合以上情况，从而证明结论成立。

　　

　　构造法是求数列通项公式的一种重要方法，通常用于已知两项的关系，并且这两项如果分别在等号两边时系数不相等的情况。构造法一般是构造一个新的等比数列，有时也会构造新的等差数列。

　　接下来重点讲一下本题如何进行构造。根据题意，先设an+λ3^n=-2[a(n-1)+λ3^(n-1)]，然后将等式左边的λ3^n移到右边，并将右边展开后合并同类项，即可得到an=-2a(n-1)-5λ3^(n-1)。接着对比题干给出的等量关系，可以得到λ=-1/5，这样就构造成了一个新的等比数列。然后先求出这个新等比数列的通项公式，再求an的通项公式。

　　

　　接下来再看第二问，同样介绍两种解法。

　　第一问已经求出了an的通项公式，那么本问就可以直接用an的通项公式进行计算。

　　由于an＞a(n-1)，那么表示出an和a(n-1)勾进行化简，得到一个关于a0的不等式，见下图。由于这个不等式中出现了(-1)^(n-1)，这就意味着需要将n分为奇数和偶数进行讨论。我们一般用2k+1或者2k-1来表示奇数，用2k表示偶数。

　　当n为奇数时，n-1为偶数，不等式两边可以直接除以(-1)^(n-1)，然后分离出a0，再用函数单调性求a0的取值范围。

　　当n为偶数时，n-1为奇数，不等式两边同时除以(-1)^(n-1)时不等号要反向，然后再求出一个a0的范围。

　　综合上面两种情况就可以求出a0的最终取值范围。

　　

　　由于对任意n≥1都有an＞a(n-1)，那么可以尝试取n的特殊值，求出a0的取值范围。然后再证明当a0在这个范围内对任意n≥1都成立即可。

　　

　　总的来说，天津这道压轴题的难度确实不算很大，那么你会做吗？

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