2021年南京中考数学蚂蚁最短路径，一道很好的建模题，有点难

　　2021年南京中考数学第27题，又是一道长篇，看一下

　　

　　前两问应该是比较简单的，我们主要来看最后第（2）问的②。

　　这个问题比较新颖，只问思路。

　　问题是求从点A到点B的最短路径。显然必须把圆锥和圆柱同时展开，但怎么展开，右边图形中的矩形中的字母其实已经给出了展开的方法，对于圆柱从CD关于对称中心轴对称的母线剪开进行展开。对于圆锥，假设顺着刚才，接着往上剪，由于圆锥展开图是个扇形，显然，我们还必须把圆锥与圆柱连接的部分剪开才行。于是，有了下图。

　　

　　让扇形进行滚动，此时过O作铅垂线OH，H为扇形与矩形的切点。为了看得清楚，做了一个动画来演示一下。

　　

　　在某一时刻，静态图如下。

　　

　　要想求出最短距离，其实就是求出AH+HB的最小值，因此一般的思路应该先通过找参数，把这两条线段分别表示出来。过点B作BG垂直于OH，垂足为G。要求画出的示意图应该可以用下图。

　　

　　具体写的思路详细如下：

　　

　　求出上图最后红色式子（这是关于x的一个函数）的最小值即可。式中角度这样写法主要是为了避免弧度制。

　　但是，思路归思路，实际上，这个最小值是无法解出来的，即使用到高等数学的知识，通过求导，令导数为0，求x，但这个方程是个超越方程，无法求出准确解，只能求出近似解。所以，有点疑问，这个题放在中考题，是不是有点难。另外，在研究时，发现当A、H、B三点共线时，有最小值。

　　下面这种画法，应该也可以，解题的思路是一样的。这里HC线段与HC弧长相同。

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