分类or分步？计数原理别再傻傻分不清~
分类计数原理和分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳抽象出来的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的理论基础，而且其基本思想方法贯穿在整个排列、组合问题之中。
通过学习梳理希望能帮大家掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用此两个原理分析和解决一些简单的问题；能根据事件特征来区分到底是用分类计数原理还是分步计数原理，并能交叉利用两个原理来解决较复杂的问题。
一、程序框图
对于分类计数原理与分步计数原理的综合应用问题，一般的解题步骤是：整体上先分类，局部上再考虑分步或再次分类。这一程序可用下面的框图表示为：
其中框图中的第1列是分类关系，第2列是分步关系，于是完成事件S共有的不同方法种数为：
二、要点精析
1．分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有n类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类。分类时，首先是根据问题的特点确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”才能用分类计数原理。
2．分类计数原理的集合表述形式为：做一件事，完成它的办法用集合S表示，S被划分成n类办法分别用集合S1，S2，…，Sn表示，即S = S1∪S2∪…Sn，且Si ∩ Sj=Φ(i≠j；i、j= 1，2，3，…，n)，S1，S2，…，Sn 中分别有M1，M1，…，Mn种不同的方法，即集合S1，S2，…，Sn中分别含有M1，M2，…，Mn个元素，那么，完成这件事共有的方法，即集合S中元素的个数为：M1＋M2＋…＋Mn。如下图所示。
3．分步计数原理中的“做一件事，完成它可以需要分成n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤。分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准，其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续这n个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理。
4．在分步计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤。当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成。但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的。
5．两个基本原理的区别在于前者每次得到的是最后结果——分类计数原理，后者每次得到的中间结果——分步计数原理。表解如下：
三、特别提示
1．理解分类计数原理，要注意以下三点：
⑴清楚怎样才是完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或叫完成一个“事件”在每个题中具体所指。
⑵解决“分类”问题应用分类计数原理。需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B就可以单独完成，每类办法都可以完成这件事。注意各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏。
⑶每个问题中，标准不同，分类也不同。分类基本要求是，每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的(不重复)。
2．分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同类方法种数的计数方法。每一类中的每一种方法都可以完成这件事；每一类的各种方法都是相互独立的。因此，运用分类计数原理时，要恰当进行分类，做到既简捷，又不遗漏、不重复。
3．理解分步计数原理，要注意以下三点：
⑴清楚怎样才是完成“一件事”的含意，即知道完成一个事件，在每个题中需要经过哪几个步骤。
⑵“分步”用乘法原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了一个事件，不妨称此为“相关事件”。注意各步骤之间的连续性。
⑶每个问题中，标准不同，分步也不同。分步基本要求是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重复，二是两个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代。
4．应用分步计数原理，关键在于“分步”，每一步骤只能完成此事件的一部分不能全部完成此件事，且只有每步均完成此件事才算完成，因此要合理设计分步程序。
5．两个基本原理作为两种计数的方法，是指完成某件事的所有方法的种数，因而要求计数时不能出现重复，也不能出现遗漏，使用哪个基本原理就要看是否适合这个原理的条件，否则就容易出错。
四、例题解析
例1，乘积(a1+ a2+ a3)(b1+ b2+ b3+ b4)(c1+ c2+ c3+ c4+ c5)的展开式中，有多少项？
解：首先应明确所完成的事情，即从三个因式中各自取一个字母相乘之积作为展开式中的一项，然后再分析如何完成．从第一个因式中选一个字母有3种方法，从第二个因式中选一个字母有4种方法，从第三个因式中选一个字母有5种方法，只有这三步都完成，才能确定展开式中的一项，因而用乘法原理．结果为3×4×5 = 60 项．
例2，1800 有多少正约数？
解：1800 = 2×3×5，1800的约数的结构形式可表示为：
其中α= 0，1，2，3；β= 0，1，2；γ= 0，1，2．
根据乘法原理，有N = 4×3×3 = 36 (个) 约数．
评注：解决实际问题的原则是要根据过程来设计数学模型，此题先分解质因数，由质因数的种类，可知构成一个约数可分三个步骤，由每种质数可取的个数得到每个步骤有几种方法．
例3， ⑴ 5名学生争夺3项比赛冠军，获得冠军的可能情况种数共有多少？
⑵ 数、理、化三科教师都布置了作业，求在同一时刻5名学生都做作业的所有可能情况的种数？
解：⑴完成这件事情（决定三个冠军），需要分三步，每一项冠军都可以由5个人中的一人得到，故共有5×5×5 = 125 (种) ．
⑵完成这件事情（5名学生同时做作业），需要分5步，即每个学生做作业均有3种情况，所以5名学生同时做作业的情况共有3×3×3×3×3 = 243 (种) ．
评注：在分类或分步时，必须有明确的标准，这样才可做到使结果不重、不漏，如⑴题以三项冠军为标准（位置）从而分3步，如果以人（学生）为标准分5步，每步有3种情况（显然不对）漏掉不得冠军的情况，并且重复现象也明显．⑵题以学生为标准，分5步，同样可知得5也不对．
例4， 求从集合M = {1，2，3}到集合N = {1，2，3，4}的不同映射个数．
解：由映射定义知，集合M中的每个元素必须与集合N中的一个元素对应．
第一步，集合M中的元素1与集合N中的四个元素中的任一个对应，则有4种方法；
第二步，集合M中的元素2与集合N中的四个元素中的任一个对应，则有4种方法；
第三步，集合M中的元素3与集合N中的四个元素中的任一个对应，则有4种方法．
由乘法原理，得 4×4×4 = 64 个不同映射．
例5， 用n种不同颜色为广告牌着色(如图甲)，要求在①、②、③、④个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色．
⑴当n = 6时，为图甲着色时共有多少种不同的着色方法．
⑵若为图乙着色时共有120种不同的着色方法，求n．
解：完成着色这件事，共分四个步骤进行，可依次考虑①、②、 ③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定总的着色方法数．
⑴为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有着色方法：6×5×4×4 = 480 (种)．
⑵与⑴的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理不同的着色方法数是：n(n－1)(n－2)(n－3)．
由 n(n－1)(n－2)(n－3) = 120 ，得，
(n－3n)( n－3n + 2) －120 = 0，即 (n－3n)+ 2(n－3n)－12×10 = 0 ，
所以 n－3n－10 = 0 ，得到 n = 5 ．
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