初中数学必刷好题001 每日一题 勇夺高分

　　001题.如图，在△BAF中，∠BAF=120度，AB=AF.C为线段BF上一点，

　　△ACD是等边三角形。E是BD中点。求证：AE⊥EC.

　　方法1：将△ACF绕点A顺时针旋转120°，得到△AC'B'. 易得：∠CAC'=∠BAF=120°,C'、A、D三点共线，

　　AC'=AC=AD,AE是△BC'D的中位线， AE∥BC'

　　将△ACB绕点A逆时针旋转120°，得到△ADB',

　　延长DC和BB'交于点H.灾难片

　　易得：△ABB'是等边三角形，∠C'BH=90°, BF

　　是 AB'的中垂线,B'C=AC=CD.

　　由△DAB'△CAB,可得∠AB'D=∠ABF=30°，

　　∠BB'D=90°。

　　由∠BB'D=90°,B'C=CD可以推出DC=B'C=CH，

　　CE是△DBH的中位线，CE∥BH

　　∴∠AEC=∠C'BH=90

　　∴AE⊥CE.

　　方法2：取AC中点N，BF中点O.连接EO,NO,EN.

　　连接AO并倍长至点H。连接CH,HF,DF.

　　易得:△AHF是等边三角形，△AHC△AFD

　　(典型手拉手模型),CH=FD; AC=CH=DF;

　　AN=ON=CN(直角三角形斜边中线是斜边的一半)

　　ON是 △AHC的中位线，ON=(1/2)CH=(1/2)DF

　　OE是△BDF的中位线，OE=(1/2)DF

　　∴ON=OE

　　设∠AON=α,则∠AON=∠AHC=∠AFD=α

　　∠EOB=∠DFB=30°+α

　　∠AOE=∠AOB-∠EOB=90°-30°-α=60°-α

　　∴∠EON=∠AON+∠AOE=60°

　　∴△EON是等边三角形

　　∴EN=ON=(1/2)AC

　　∴AE⊥EC.

　　方法1：将△ACF绕点A顺时针旋转120°，得到△AC'B'.

　　延长CE和BC'交于点G.

　　易得：∠CAC'=∠BAF=120°,C'、A、D三点共线，

　　AC'=AC=AD,AE是△BC'D的中位线， AE∥BC'

　　将△ACB绕点A逆时针旋转120°，得到△ADB',

　　延长DC和BB'交于点H.

　　易得：△ABB'是等边三角形，∠C'BH=90°, BF

　　是 AB'的中垂线,B'C=AC=CD.

　　由△DAB'△CAB,可得∠AB'D=∠ABF=30°，

　　∠BB'D=90°。

　　由∠BB'D=90°,B'C=CD可以推出DC=B'C=CH，

　　CE是△DBH的中位线，CE∥BH

　　∴∠AEC=∠C'BH=90

　　∴∠G=90°

　　∴∠GCB=30度

　　∴CE∥AF

　　方法2：取AC中点N，BF中点O.连接EO,NO,EN.

　　连接AO并倍长至点H。连接CH,HF,DF.

　　易得:△AHF是等边三角形，△AHC△AFD

　　(典型手拉手模型),CH=FD; AC=CH=DF;

　　AN=ON=CN(直角三角形斜边中线是斜边的一半)

　　ON是 △AHC的中位线，ON=(1/2)CH=(1/2)DF

　　OE是△BDF的中位线，OE=(1/2)DF

　　∴ON=OE

　　设∠AON=α,则∠AON=∠AHC=∠AFD=α

　　∠EOB=∠DFB=30°+α

　　∠AOE=∠AOB-∠EOB=90°-30°-α=60°-α

　　∴∠EON=∠AON+∠AOE=60°

　　∴△EON是等边三角形

　　∴EN=ON=AN=CD

　　∴A、E、O、C四点共圆

　　∴∠ACE=∠AOE=60°-α

　　∴∠ECO=∠ACO-∠ACE=90°-α-(60°-α)=30°

　　∴EC∥AF

　　拓展2：在△BAF中，∠BAF=120度，AB=AF.C为线段BF上一点，

　　△ACD是等边三角形。E是BD中点。求∠BAE的度数。

　　由以上解题过程中可知AE⊥EC,EC//AC，则∠EAF=90度，∠BAE=30度。

　　拓展3：在△BAF中，∠BAF=120度，AB=AF.C为线段BF上一点，

　　△ACD是等边三角形。E是BD中点,O是BF中点。求∠OAE的度数。

　　由以上解题过程中可知A、E、O、C四点共圆，则∠OAE=∠ECO=∠AFB=30°

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