中小学数学的底层逻辑

　　一，什么是中小学数学的底层逻辑呢？

　　这个问题很难明确界定，最好的办法是举一些非常典型的例子。比如《几何原本》中的第一条公理：

　　

　　这就是典型的底层逻辑

　　有的读者可能会说：这不都是废话吗？

　　二，

　　在很多人看来，这些公理确实是废话，太简单了，太显然了，没什么意义。哪怕欧几里得写《几何原本》的时候没有将这些公理列出来，而是直接在《原本》中默默地使用，读者也不会因此批评《原本》不严谨。

　　那么把这些看似废话，大家都“日用而不自知”的公理大张旗鼓地罗列在醒目的位置，究竟是为什么呢？

　　我们来看看公理1，如果用现代数学语言陈述这个公理，那就是

　　a=b, b=c →a=c

　　这个公理实质上是陈述：

　　数学上的“=”关系具有传递性！

　　下面是《中小学数学要义》中关于传递性的介绍：

　　

　　所以，为什么公理1会成立，为什么会在数学学习，计算，证明过程中通行无阻，是因为数，量，和代数上的“=”关系具有传递性。

　　到了这里，可能有些读者还会质疑：

　　去提炼出一个传递性有什么用呢？

　　明明很简单很显然的事情有必要搞得这么复杂吗？

　　三，

　　注意了，对于公理1“日用而不自知”，到自觉意识到公理1这个结论，再到领会公理1的实质是“=”关系的传递性，这分别代表三种从低到高的数学领悟层次。这种领悟层次的高低在越往后的数学学习中将会越凸显。

　　比如关于初中平面几何中，三线平行定理的学习。

　　这个定理实质上就是直线平行关系的传递性，证明很简单，只需用到下面这个公理：

　　

　　但是，不少学生给出了一个非常典型的错误证明：

　　（错误证明）因为 a和b平行，所以 a和b的方向相同，因为b和c平行，所以b和c的方向也相同。既然a和b的方向相同，b和c的方向也相同，那么a和c的方向自然也相同，所以是平行的。

　　四，

　　这个证明错在什么地方呢？

　　首先，这个证明引入了“方向”的概念，什么是方向呢？方向是一个量吗？完全没说清楚。虽然在直观上我们都知道方向是什么意思，但在数学证明中，要有严格的说明。

　　这个证明更严重的问题是，在潜移默化之间为每条直线赋予方向，而两直线平行等价于方向相同，这本质上就是直接赋予了直线平行关系的传递性。

　　所以这个所谓的“证明”并不是证明直线平行关系的传递性，而是直接赋予了直线平行关系的传递性。

　　犯这种错误的学生，往往都是对相等，相同关系的传递性“日用而不自知”，所以才会将这种性质无限扩大。

　　能抽象把握关系传递性的学生，根本不会犯这种错误，甚至可以一眼看穿这种证明的错误本质。

　　五，

　　关于中小学数学的底层逻辑，还有个非常典型的例子，那就是五大运算定律。这五大运算定律看起来确实非常简单，尤其是前四个：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律。对于五大运算定律许多学生都是“日用而不自知”，但是更自觉地意识到五大运算定律是加减乘除运算及其法则的基础，这才能代表更高的数学领悟层次。

　　高中学到向量的时候你会发现，向量有三种运算八个运算定律，这个时候不少学生就会蒙圈，一个典型的错误就是

　　

　　为什么有的学生会犯这种错误呢？原因就在于对乘法结合律“日用而不自知”，所以滥用乘法结合律。他没有自觉意识到之前数的乘法运算可以自由结合是因为有数的乘法结合律做支持。

　　六，

　　我最后再举个例子。中小学数学中有加减乘除运算，共轭运算，函数，数列，平面平移平面旋转等概念；每条线段都有长度，每个三角形都有面积，坐标平面上每个点都有横坐标；我记得小时候经常玩彩笔涂连环画；中小学班级中每个同学都有一个号数；求职市场上，每个求职者填求职表的时候，都要填写自己的最高学历；还有把几个颜色不同的小球放入一排抽屉中这种稀松平常的事情。

　　所有这些，都可以用集合论中的抽象的映射概念来描述。所以映射的概念不仅仅是数学底层逻辑，也是关于认知能力的非常底层的逻辑。把握这种抽象底层逻辑，无疑能更加增进对已有所学数学概念（比如运算，函数，数列，平面平移旋转）的理解，而且可以真正做到举一反三，触类旁通。

　　七，

　　以上是中小学数学的底层逻辑的三个典型例子。

　　如果把数学的计算和解题能力比作可以看得见的武学招式的话，数学的底层逻辑则更像是武学的内功内力，“看不见摸不着”，却能决定你在数学学习道路上能走多远。

　　三流的数学老师只会教招式，一流的数学老师却会在关键时刻为学生输送内力！

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