云树学生作品 ｜ 实数系列1

　　原标题：云树学生作品 | 实数系列1

　　一样思考 数学精彩观念的诞生

　　数学可以越学越容易吗？ 贞元数学告诉你：当然可以！

　　本文来自云树 樱宝

　　上个学期我们学过一类数，叫有理数，可以分为分数和整数，分数包含有限小数和无限循环小数。还有一类无限不循环小数，我们将这类数命名为无理数。那么无理数是怎么诞生的呢？

　　边长为1的正方形，它的对角线的长度是多少呢？该怎么求呢？

　　如图，我们可以拿两个边长为1的正方形，沿着对角线把它们剪开，然后拼成一个大正方形，这时这个大正方形的面积是两个小正方形的面积之和，就是12+12=2 。大正方形的边长就是小正方形的对角线，设为a ，那么可得到。问题在于两个数相乘等于2，这个数应该怎么表示？

　　它会是一个整数吗？我们知道12=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜a＜2，所以a不是一个整数。

　　但是通过这个方法可以估算它的大小，前面已知1＜a＜2，那么大概是1点几。到底是几呢？先试试1.5，1.52=2.25，大于1，所以在1和1.5之间；再试试1.4，1.42=1.96，小于2，所以在1.4和1.5之间。再往后也是这样计算：

　　

　　还能继续往下算吗？可以算多少位呢？

　　那它会是一个分数吗？

　　可以先假设它是一个分数，设，则

　　

　　。我们知道

　　

　　，通过等式的基本性那么质2，可得出，肯定是偶数，那么也是偶数，因为只有偶数的平方是偶数，所以p也是偶数。再设，代入到中，就是，，可以得出q也是偶数。而分数的一个性质就是分母和分子为互质数，所以a不是分数。

　　a既不是分数也不是整数，那a就只能是无限不循环小数了。按照上面的计算方法，我们可以想算到a后面多少位就算到多少位！

　　为了表示a这类数，数学家发明了一个符号，叫根号。比如，a是已知的，我们要求x，x用符号语言表示是，读作正负根号a，这个运算叫开方运算，x是a的平方根，a是被开方数。那为什么x有两个值呢？因为负负得正，正正也得正，所以一个正数有两个平方根，互为相反数，其中正的平方根命名为算术平方根。

　　平方根有哪些应用呢？

　　因为正方形面积公式是边长的平方，跟平方有关，所以可以提出一些和面积相关的问题。比如一个正方形面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9信，它的边长变为原来的多少倍？

　　可以先设原来的面积为1，现在的面积变成原来的4倍，1×4=4，

　　

　　，得出变大后它的边长，2÷1＝2，所以第一问增大后的边长变为了原来的2倍；那么第二问，1×9=9，，3÷1=3，所以增大后的边长变为了原来的3倍。由此可以发现，正方形增大后边长变的倍数是面积变大倍数的算术平方根倍。所以如果看到正方形面积变大的倍数不是平方数倍，我们也能快速知道它的边长变大了多少倍。比如面积变大2倍，那么边长就变大了

　　

　　倍；如果面积变大了3倍，边长就变大了倍；如果面积变大了n倍，那边长就变大了倍。同时这个规律反过来也能用，比如边长变为原来的2倍，那么面积就变为原来的4倍，22＝4；如果边长变为原来的n倍，那面积就变为原来的n2倍。因为开方运算和乘方运算是互逆的。

　　体积计算的公式是边长的立方，也就是三次方，在求三次方的开方运算上跟平方根的很像，比如，x是a的立方根，符号是，读作三次根号a，a是被开方数。

　　体积也可以提出刚才的问题，比如一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？

　　还是设原来正方体的体积为1，1×8=8，

　　

　　，所以棱长变为原来的2倍；第二小问，1×27=27，，所以棱长变为原来的3倍。也可以发现，棱长变为了体积变大的倍数的立方根倍，所以如果体积变为原来的倍数不是立方数，也可以得出它的棱长变为了原来的倍数，比如体积变为了原来的3倍，它的棱长就变为了原来的倍，如果体积变为了原来的n倍，它的棱长就变为了原来的

　　

　　倍。

　　开方运算的出现诞生了无理数，无限不循环小数也能用这种神奇的符号表示出来了。最后，无理数和有理数统称为实数。

　　

　　

　　研究完实数的诞生后，就到它的比大小了，这里主要聚焦带根号的，因为有理数之前学过了。

　　随便举两个数，和，4的算术平方根是2，因为22=4；而32=9，4＜5＜9，所以可以确定在2与3之间，是二点几，那么是二点几，是2，所以＜。在经过一些例子的证明后，得出一个结论，被开方数越大，它的算术平方根也越大。

　　还有一类比较大小，一个有理数和一个带根号的数，比如和2.5相比，谁大？不是平方数，估算它的算术平方根很麻烦，所以可以算2.52，因为被开方数越大，他的算术平方根越大。如果2.52＞62，所以2.5＞；如果2.52＜6，2.5＜。因为2.52=6.25，6.25大于6，所以2.5＞。

　　研究完实数的比大小，最后是实数的四则运算，四则运算我们更多会放到八年级再学，但是也讲过一些被开方数相等的加减运算，比如，跟合并同类项很像，可以理解为3个加2个，就是5个，所以；减法也相同，比如，就是5个减去3个，等于2个，所以。

　　还有就是平方根与立方根的估算，拿立方根举例子，比如估算的值，估算到个位数，93=729，103=1000，所以的整数部分是9，现在看它的十分位的数字，如果它大于4，就可以四舍五入为10，如果它小于5，就四舍五入为9。四舍五入的时候，5是一个分界线，所以就先算9.53，如果大于900，那么说明900的立方根小于9.5，就四舍五入为9；如果小于900，说明900的立方根大于9.5，就四舍五入为10。最后计算结果是9.53=857.375，小于900，所以900的立方根约为10。

　　最后回到无理数，它有没有绝对值，相反数或倒数呢？也是有的，先看绝对值，无理数也能在数轴上表示，所以离原点也是有实际距离的，比如，那么它到原点的距离就是，所以的绝对值是；无理数能在数轴上表示出来，也会有左右两边，所以无理数也有相反数，比如，，它在原点右边，绝对值为，那么在原点左边，距离原点的点，就是的相反数，就是。无理数也是可以进行四则运算的，所以它也会有跟它乘积为1的数，以我们的已有经验，如果是的倒数，应该是，不过以后还能不能这样表示，就不知道了。

　　以上就是我的分享，未来我们会继续探索实数的四则运算，还有那个不知道是啥的虚数……（实在是不知道怎么写结尾，就这吧！）

　　指导老师：梅梅老师

　　编辑：梅梅老师

　　责任编辑：