初中数学重点知识点:归纳与发现

  知识定位

  归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法,也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳,也就是在求解数学问题时,首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作基础,分析概括这些经验的共同特征,从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法.

  知识梳理

  知识梳理1:归纳与发现

  通过我们仔细的观察,发现图形或者数学式子的规律或者特征,进而对其规律进行归纳、总结发现其一般性的通用规律,进而用其解决问题。

  例题精讲

  【试题来源】

  【题目】如图,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,…这个六边形点阵共有n层,试问第n层有多少个点?这个点阵共有多少个点?

  【答案】1+3n(n-1)

  【解析】我们来观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.

  第一层有点数:1;

  第二层有点数:1×6;

  第三层有点数:2×6;

  第四层有点数:3×6;

  ……

  第n层有点数:(n-1)×6.

  因此,这个点阵的第n层有点(n-1)×6个.n层共有点数为

  【知识点】归纳与发现

  【适用场合】当堂例题

  【难度系数】3

  【题目】在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆除P点外无其他公共点,那么试问:

  (1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域?

  (2)这n个圆共有多少个交点?

  【答案】

  【解析】 (1)在图中,设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个?为此,我们列出表1.

  由表1易知

  S2-S1=2,

  S3-S2=3,

  S4-S3=4,

  S5-S4=5,

  由此,不难推测

  Sn-Sn-1=n.

  把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加,就得到

  Sn-S1=2+3+4+…+n,

  因为S1=2,所以

  下面对Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正确性略作说明.

  因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当n个圆过定点P时,这个加上去的圆必与前n-1个圆相交,所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.

  (2)与(1)一样,同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此,可列出表2.

  由表2容易发现

  a1=1,

  a2-a1=1,

  a3-a2=2,

  a4-a3=3,

  a5-a4=4,

  an-1-an-2=n-2,

  an-an-1=n-1.

  n个式子相加

  【题目】设a,b,c表示三角形三边的长,它们都是自然数,其中a≤b≤c,如果 b=n(n是自然数),试问这样的三角形有多少个?

  【解析】 我们先来研究一些特殊情况:

  (1)设b=n=1,这时b=1,因为a≤b≤c,所以a=1,c可取1,2,3,….若c=1,则得到一个三边都为1的等边三角形;若c≥2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三边c,这时不可能由a,b,c构成三角形,可见,当b=n=1时,满足条件的三角形只有一个.

  (2)设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表3.

  这时满足条件的三角形总数为:1+2=3.

  (3)设b=n=3,类似地可得表4.

  表4

  这时满足条件的三角形总数为:1+2+3=6.

  通过上面这些特例不难发现,当b=n时,满足条件的三角形总数为:

  这个猜想是正确的.因为当b=n时,a可取n个值(1,2,3,…,n),对应于a的每个值,不妨设a=k(1≤k≤n).由于b≤c<a+b,即n≤c<n+k,所以c可能取的值恰好有k个(n,n+1,n+2,…,n+k-1).所以,当b=n时,满足条件的三角形总数为:

  【适用场合】当堂练习题

  【题目】设1×2×3×…×n缩写为n!(称作n的阶乘),试化简:1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n.

  【答案】(n+1)!-1

  【解析】先观察特殊情况:

  (1)当n=1时,原式=1=(1+1)!-1;

  (2)当n=2时,原式=5=(2+1)!-1;

  (3)当n=3时,原式=23=(3+1)!-1;

  (4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.

  由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)!-1.

  下面我们证明这个猜想的正确性.

  1+原式=1+(1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n)

  =1!×2+2!×2+3!×3+…+n!×n

  =2!+2!×2+3!×3+…+n!×n

  =2!×3+3!×3+…+n!×n

  =3!+3!×3+…+n!×n=…

  =n!+n!×n=(n+1)!,

  所以原式=(n+1)!-1.

  【适用场合】随堂课后练习

  【题目】设x>0,试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小.

  【答案】见解析

  【解析】

  本题直接观察,不好做出归纳猜想,因此可设x等于某些特殊值,代入两式中做试验比较,或许能启发我们发现解题思路.为此,设x=0,显然有

  x3<x2+x+2.①

  设x=10,则有x3=1000,x2+x+2=112,所以

  x3>x2+x+2.②

  设x=100,则有x3>x2+x+2.

  观察、比较①,②两式的条件和结论,可以发现:当x值较小时,x3<x2+x+2;当x值较大时,x3>x2+x+2.

  那么自然会想到:当x=?时,x3=x2+x+2呢?如果这个方程得解,则它很可能就是本题得解的“临界点”.为此,设x3=x2+x+2,则

  x3-x2-x-2=0,

  (x3-x2-2x)+(x-2)=0,

  (x-2)(x2+x+1)=0.

  因为x>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.这样

  (1)当x=2时,x3=x2+x+2;

  (2)当0<x<2时,因为

  x-2<0,x2+x+2>0,

  所以 (x-2)(x2+x+2)<0,

  即x3-(x2+x+2)<0,

  所以 x3<x2+x+2.

  (3)当x>2时,因为x-2>0,x2+x+2>0,

  所以 (x-2)(x2+x+2)>0,

  即x3-(x2+x+2)>0,

  所以 x3>x2+x+2.

  综合归纳(1),(2),(3),就得到本题的解答.

  【题目】计算

  【答案】33…3(n个)

  【解析】

  先由特例入手,注意到

  我们自然猜想:原式=

  显然,要证明上式,需将变为

  【适用场合】阶段测验

  【题目】已知E,F,G,H各点分别在四边形ABCD的AB,BC,CD,DA边上(如图)

  (1)当时,求证:

  (2)当上述条件中比值为3,4,…,n时(n为自然数),那S么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少?

  当时,连接AC,且过G引GM∥AC交DA于M点.由平行截割定理易知

  (2)设

  当k=3,4时,用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表5.

  表5

  观察表5中p,q的值与对应k值的变化关系,不难发现:当k=n(自然数)时有

  【适用场合】课后一个月练习

  【题目】平面上有n条直线,其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交),也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求:

  (1)这n条直线共有多少个交点?

  (2)这n条直线把平面分割为多少块区域?

  【答案】(1) (2)

  【题目】求适合x5=656356768的整数x.

  (提示:显然x不易直接求出,但可注意其取值范围:505<656356768<605,所以502<x<602)

  【答案】58

  举报/反馈