七年级数学,平行线拐点模型之铅笔模型,结论及证明过程

  七年级数学,平行线拐点模型之铅笔模型,结论及证明过程。已知:AB∥CD ,求证:∠B+∠D+∠BED=360°。

  

  方法一:过拐点作平行线

  

  证明:过点E作EF∥AB

  ∵ AB∥EF,∴∠ABE+∠BEF=180°

  ∵ AB∥EF,AB∥CD,∴ EF∥CD

  ∴∠DEF+∠D=180°,∴∠B+∠D+∠BED=360°

  

  反过来:证明:过点E作EF∥AB

  ∵ AB∥EF(已知),∴∠ABE+∠BEF=180°

  ∵∠B+∠D+∠BED=360°,∴∠DEF+∠D=180°

  ∴ EF∥CD,∴ AB∥CD

  方法二:三角形内角和为180°

  

  证明:连接BD

  ∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°

  ∵ 在△BDE中,∠BDE+∠DBE+∠BED=180°

  ∴ ∠ABE+∠CDE+∠BED=∠BDE+∠DBE+∠BED+∠ABD+∠CDB=180°+180°=360°

  

  反过来:证明:连接BD

  ∵ 在▲BDE中,∠BDE+∠DBE+∠BED=180°

  ∵ ∠ABE+∠CDE+∠BED=360°

  即∠BDE+∠DBE+∠BED+∠ABD+∠CDB=360°

  ∴∠ABD+∠CDB=180°

  ∴AB∥CD

  方法三:外角等于两个不相邻的内角和

  

  证明:延长BE、CD相交于点F

  ∵ AB∥CD,∴∠B+∠F=180°

  ∵∠BED是△DEF的外角,∴∠BED=∠EDF+∠F

  ∴∠CDE+∠BED+∠B=∠CDE+∠EDF+∠B+∠F=360°

  即:∠CDE+∠BED+∠B=360°

  反过来,证明:延长BE、CD相交于点F

  ∵∠BED是▲DEF的外角,∴∠BED=∠EDF+∠F

  ∵∠CDE+∠BED+∠B=360°

  即∠CDE+∠EDF+∠B+∠F=360°

  ∴∠B+∠F=180°,∴AB∥CD

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