出入相补原理是什么

　　出入相补（又称以盈补虚）原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。“勾股各自乘，并，而开方之，即弦。勾自乘为朱方，股自乘为青方，另出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”

　　基本原理

　　我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。

　　根据

　　这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：

　　《周髀算经》（简称《周髀》），

　　《九章算术》（简称《九章》），

　　刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），

　　《海岛算经》（简称《海岛》），

　　赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。

　　

　　主要起源

　　田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出体积问题。

　　我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。

　　含义

　　所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

　　发展

　　我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。

　　下面的例取自《九章》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依山入相补原理得ET=2 EG=2 KG=2×北步×西步” 为实，以“南步十北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。

　　不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题（A）相当于：

　　（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。

　　大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得勾股和2=4×勾股积+勾股差2。

　　由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。

　　渊源

　　宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x（当时称为天元一）表长方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程x2+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。

　　所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。

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