全国初中数学竞赛题，图形复杂，包含的信息量大，90%学生做错了

　　同学们好，今天老师为大家分享一道全国初中数学竞赛题，这道题目是一道几何证明题，光从题目所给的图形来看，就已经很复杂了。接下来我们就一起来看看这道题吧：

　　试题看到题目之后，不知道同学们有没有思路呢？这道题其实考查了三角形的五心——垂心。接下来老师就带领大家先对三角形的五心及其各自的性质进行一下复习：

　　三角形五心定理

　　三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

　　重心定理

　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。

　　重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

　　外心定理

　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

　　外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心；2、若O是ABC的外心，则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角）；3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合；4、外心到三顶点的距离相等。

　　垂心定理

　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

　　垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆；2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH=1:2(除正三角形）；3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍；4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

　　内心定理

　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

　　内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心；2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一；3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC；4、内心到三角形三边距离相等。

　　旁心定理

　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

　　旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心；2、每个三角形都有三个旁心；3、旁心到三边的距离相等。

　　注：1.一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外；2.三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

　　复习完知识点以后，我们接着来分析这道题：我们可以先延长AP交O2于点Q,连接AH,BD,QB,QC,QH,由AB为O1的直径，得∠ADB=∠BDQ=90°,从而可知BQ为O2的直径，由圆周角定理得出CQ⊥BC,BH⊥HQ,又H为ABC的垂心，由垂心的定义得AH⊥BC,BH⊥AC,可推出AH//CQ,AC//HQ，从而证明出四边形ACQH为平行四边形，最后再利用平行四边形的性质证明结论即可。具体解题步骤如下：

　　答题步骤今天的试题分享就到这里，也欢迎大家下方留言或评论，来一起说说你们的想法或建议吧

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