三角形角平分线分对边成比例定理

　　三角形角平分线分对边成比例定理是一个关于三角形内部角平分线和对边的重要定理。它表明当一条角平分线将一个三角形的一个角平分成两个等角时，这条角平分线将对边划分成两个比例相等的线段。

　　设△ABC为一个三角形，AD是∠BAC的角平分线，D位于BC线段上。根据角平分线的定义，∠BAD = ∠CAD。我们需要证明BD/DC = AB/AC。

　　为了证明这个定理，我们可以使用几何推导或者应用三角函数来解释。

　　首先，我们使用几何推导来证明这个定理：

　　1. 通过构造辅助线，连接AC和BD，使得该辅助线与AD垂直交于点E（如图所示）。

　　2. 由于∠CAD = ∠BAD，以及∠AED = ∠AEB = 90°，所以△AED和△AEB是相似的。

　　3. 根据相似三角形的性质，我们有AE/AB = DE/EB。

　　4. 又因为DE和EB互为对方的中线，根据中线定理，我们知道DE = EB/2。

　　5. 将上述结果代入第3步的等式中，可得AE/AB = (EB/2)/EB，即AE/AB = 1/2。

　　6. 根据相似三角形的性质，我们有CE/AC = DE/AE。

　　7. 将已知条件和第5步的结果代入第6步的等式中，得CE/AC = (EB/2)/AB，即CE/AC = 1/2。

　　8. 整理上述结果，我们可得CE = AC/2和EB = AB/2。

　　9. 综上所述，我们得到了BD/DC = AB/AC。

　　这就完成了对三角形角平分线分对边成比例定理的几何证明。

　　另一种方法是使用三角函数来解释该定理：

　　1. 假设∠BAC的度数为θ，则∠BAD和∠CAD的度数均为θ/2。

　　2. 根据正弦定理，我们可以得到在△ABD和△ACD中，sin(θ/2) / BD = sin(∠ABD) / AB 和 sin(θ/2) / DC = sin(∠ACD) / AC。

　　3. 由于∠ABD = ∠ACD，所以sin(∠ABD) = sin(∠ACD)。

　　4. 将上述结果代入第2步的等式中，我们得到 sin(θ/2) / BD = sin(θ/2) / AC。

　　5. 通过简化，我们得到 BD/DC = AB/AC。

　　因此，无论是通过几何推导还是三角函数的应用，都可以证明三角形角平分线分对边成比例定理成立，即BD/DC = AB/AC。

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