正方形背景下的线段和最值问题

　　正方形背景下的线段和最值问题

　　

　　在人教版八年级数学中，四边形章节内容最为丰满，它上承全等三角形、轴对称变换、勾股定理，下接相似三角形、圆，是八年级下学期的重点章节之一，甚至在中考压轴题里，不乏它的存在。

　　2024年省考在即，便以一道武汉八年级几何压轴题为例，探索几何解题教学的方向，明确到底怎么考，确定以后怎么教。

　　题目

　　已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M是AO上一点.

　　(1)如图1，AQ⊥DM于点N，交BO于点Q；

　　①求证：OM=OQ；

　　②若DQ=DC，求(NQ+MN)/DM的值；

　　(2)如图2，M是AO的中点，线段EF(点E在点F的左边)在直线BD上运动，连结AF、ME.

　　若AB=4，EF=√2，则AF+ME的最小值是_________，当AF+ME取最小值时DF的长为_________.

　　

　　解析：

　　(1)①第一个结论非常容易得到，图中可证明△DOM≌△AOQ，从而得到OM=OQ；

　　②新增DQ=DC条件，我们立刻可以得到等腰△ADQ，在这个等腰三角形中，AQ⊥DM可以推导出点N是AQ中点，理由是三线合一；同时点N还是Rt△AOQ斜边上的中点，这使我们联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此连接ON，顺便在另一个Rt△DOM内，我们也作其斜边上的中线OG，如下图：

　　

　　由于在前面已经证明了△DOM≌△AOQ，所以根据全等三角形对应线段相等，得到OG=ON，也能证明OG⊥ON，因此得到等腰Rt△GON；

　　为方便推导线段间的数量关系，我们不妨设NQ=x，则ON=OG=x，NG=√2x，DM=2OG=2x

　　于是NQ+MN=NG=√2x，所以(NQ+MN)/DM=√2/2；

　　(2)在八年级阶段，涉及到最值问题的两大基本定理是“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”，在本题中，两条线段和的最小值，我们得想办法将它们“拼”到一处，基本思路就是寻找另一条线段，无论EF在什么位置，都能保证分别等于AF和ME；

　　由正方形的轴对称性，我们很快可以找到一条始终等于AF的线段，连接CF，于是AF=CF；

　　ME又会与哪条线段相等呢？

　　由条件EF=√2我们发现，图中长度等于√2的线段还真不少，例如OM、AM，可惜这两条线段虽然长度与EF相同，但是“方向”不同，若要都相同，也不是办法，我们取AD中点H，连接MH，如下图：

　　

　　由于MH是△AOD中位线，因此MH∥BD，且MH=1/2OD=√2，这样我们得到MH与EF平行且相等，于是能证明平行四边形EFHM，所以ME=HF；

　　现在我们成功地将AF和ME分别用CF、HF替代，其中点H、C是两个定点，根据“两点之间，线段最短”可知，连接CH之后，即能得到最小值，如下图：

　　

　　由勾股定理求出CH=2√5，此时过点F分别作FN⊥CD，FK⊥AD，易得FN=FK，由面积法来求FN长度，S△CDH=4，S△DHF=1/2DH·FK，S△CDF=1/2CD·FN，得方程4=FN+2FN，解得FN=4/3，所以DF=4√2/3.

　　解题反思：

　　从这道题的三个小题的设置中，我们可以发现源头是正方形中的常见全等三角形，△DOM与△AOQ，前者绕点O逆时针旋转90°后得到后者，以旋转变换作为基本思路，来设置其中的特殊位置，即第二个问题，求比值；

　　在第2小问中，突破口其实暗示得很明显，就是等腰△ADQ，三线合一，再联想直角三角形斜边上的中线，从而再一次构造出一个新的等腰直角三角形，这仍然是基于第1小问的结果；

　　在探索最值问题的过程中，学生往往知道两个基本定理，但硬是想不到如何“拼”到一处，至少说明在八年级学习轴对称章节时，对于饮马问题的研究不够深入，我们回到那节课上来看看：

　　人教版教材八年级上册85页，课题学习《最短路径问题》中，有两个问题：饮马问题和造桥选址问题，分别利用了轴对称和平移，完成了将两条线段“拼”到一处，根据“两点之间，线段最短”解决了问题，这两个问题并不难，在多数课堂上，学生表现往往很不错，在热闹的课堂气氛中，作为教师，需要思考的是：他们是真的明白了？

　　所谓真的明白，是理解了为什么要用轴对称和平移，“两点之间线段最短”中的两点是什么样的两点？线段又是如何连接的？等问题都明确知道结果，在实际教学中，有不少学生只是半懂，这直接反映在解题过程中，将两个动点直接用线段连接起来，然后告诉大家，这条线段最短；或者在解题中，不知道该作哪个点的对称点，不知道该以哪条线为对称轴，这种种迹象表明，在这节课题学习中，教学还存在些许问题。

　　在课堂上，遇到不会的问题，听老师讲完，觉得理解了，是假象，这种理解，是知其然，而不知其所以然。上课的热乎劲一过，遗忘便开始，而要解决这种遗忘，需要在课后进行思考，为什么我没想到？老师是如何想到的？沿这条反思之路，很容易触及数学的本质，这也是老师希望学生走的方向。

　　从教学角度，为什么学生在老师讲完之后，仍然不能领悟，遇到同类型问题依然不会呢？是讲得不够多？还是不够细？我觉得都不是，老师讲只是单方向输出，还要考虑学生的接收，消化，通常情况下，课堂上应留有余地，教学设计中要留白，这些空余时间就是给予学生反思的时间，毕竟在课堂上，在老师注视下，学生的反思很容易被捕捉，方向也可控，至少比学生回家后可控。

　　学生是否养成了反思习惯，和老师密切相关，学生最容易模仿的对象，就是老师，因此平时教学中的一举一动，一言一行，都在向学生传授，请问老师们，平时的教学，反思了吗？

　　做好教学反思，并不是一件简单的事，同时也不是一件难事，这两句看似矛盾的话其实是统一的，它简单在于，我们每天都能够进行教学思考，随时都可以思考，课后10分钟，批改作业时，同事交流时，而难处在于，思考要有导向，不能流于形式。

　　从反思中学习，从反思中进步，活到老，学到老，是每位老师的“终身大事”。

　　如果不清楚如何反思，建议参考《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》(张钦著)，获取请留下邮箱

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