2008年江苏高考数学填空压轴题，求参数的值，2种方法轻松搞定

　　大家好！本文和大家分享一道2008年江苏高考数学真题。这道题是2008年江苏高考数学试卷的填空压轴题，考查的是利用导数求参数的值，题目很简洁，但是难度却不小，难住了很多同学。其实，这道题用两种常见方法就能轻松搞定。

　　

　　要使f(x)=ax^3-3x+1在[-1,1]上都有f(x)≥0，那么就可以转化为f(x)在[-1,1]上的最小值都大于等于零。所以，接下来就需要求出函数f(x)在[-1,1]上的最小值。

　　当a=0时，f(x)=-3x+1，在[-1,1]上是减函数，所以其最小值为f(1)=-2，不成立。

　　当a＜0时，ax^3为减函数，-3x也为减函数，所以f(x)在[-1,1]为减函数，此时的最小值为f(1)=a-2≥0，解得a≥2，与a＜0矛盾。

　　

　　当a＞0时，函数f(x)=ax^3-3x+1的导数为f'(x)=3ax^2-3=3(ax^2-1)。令f'(x)=0，解得x=±√a/a。接下来就需要讨论f'(xx)的正负，并确定函数f(x)的单调性。

　　若0＜a≤1，则1/a≥1，故f'(x)=3(ax^2-1)在[-1,1]上都是非正数，即f'(x)≤0，此时f(x)为减函数，所以其最小值为f(1)=a-2≥0，解得a≥2，矛盾。

　　若a＞1，则0＜1/a＜1，故-1＜-√a/a＜0，0＜√a/a＜1，所以在-1＜x＜-√a/a时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数；-√a/＜x＜√a/a时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数；√a/a＜x＜1时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数，所以当a＞1时，f(x)的最小值在f(-1)和f(√a/a)中取得，所以f(-1)和f(√a/a)都大于等于0，从而可以求出a的值。

　　

　　参变分离是求参数取值范围的重要方法，本题也可以用参变分离的方法求解。

　　由f(x)=ax^3-3x+1≥0得：ax^3≥3x-1①。

　　当x=0时，上式恒成立；

　　当x＞0时，①式两边同时除以x^3，这样就完成了参变分离过程。此时，①式要在(0,1]上恒成立，就意味着a大于等于右边函数的最大值，所以通过导数求出右边函数的最大值，从而得到a≥4。

　　当x＜0时，①式两边同时除以x^3，并且不等号反向，从而完成参变分离的过程。此时，①式在[-1,0)上恒成立，那么a就小于等于右边函数的最小值，从而得到a≤4。

　　综上，得到a=4。

　　

　　作为一道填空压轴题来说，这题确实有一些难度，但是只要基础知识学得牢，做出来的难度也不是很大。你觉得呢？

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