彭光焰：一道课本三角函数复习参考题的十二种解法

　　

　　

　　摘要：课本例习题看起来很平常，实际上却有很大的教学价值和研究空间.本文通过对一道课本习题的多视角解答，目的在于提升学生数学运算能力.

　　关键词：课本习题；解法；思想方法

　　【题目】人教社A版普通高中教科书《数学》（必修第一册2019年6月第一版）第五章复习参考题5第18题）.

　　

　　【点评】解法1是教师教学用书上提供的参考答案，这种解法技巧性较强，一般同学不易想到这种解法．此解法采用化归转化思想，将要求的式子化成sin2x.tan[x+(π/4)]，然后根据已知条件求出sin2x和tan[x+(π/4)]的值.

　　

　　

　　下同解法2 .

　　【点评】解法3充分挖掘了题目的已知条件，已知x+(π/4)的余弦值，又可以求出x+(π/4)的范围，这样以来我们就可以求出x+(π/4)的正弦值，再采用解二元一次方程组的方法求出sinx和cosx的值，这也是处理三角问题常用的方法，解法3比解法2更简捷．解法3也体现了方程思想和化归思想.

　　

　　【点评】解法4把含有正弦和余弦的代数式或方程转化成含有正切的代数式或方程，在解决三角问题经常采用这种方法，这里体现了方程思想和化归思想．

　　解法5 ?由解法2或解法3求出的

　　

　　

　　下同解法4 ．

　　点评 解法4、解法5、解法6、解法7和解法8，它们在求tanx时所选择的途径不同，其中解法5计算量较大.这5种解法都体现了方程思想和化归思想.

　　

　　

　　点评? 解法9利用反三角函数求出x，然后再利用正余弦的差角公式求sinx和cosx的值，显得十分流畅．

　　

　　点评 ?解法10灵活运用了等差数列知识来解决三角问题，减少了计算量．

　　解法11

　　

　　点评?解法11也体现了化归思想.将要求的三角函数式化成2x的正余弦形式，再根据已知条件求出sin2x和cos2x的值.

　　

　　点评 ?解法12体现了换元思想和化归思想.

　　三角函数，不仅自身有许多基本而重要的公式，如同角三角函数关系式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式……，而且还离不开解方程（组）等代数运算，还要用到三角知识之外的知识，如等差数列的知识等，这样看来，三角函数问题的变化多、技巧高、综合性又强．因此，三角函数是一个思维训练的良好场所．我们学习三角函数时，充分利用课本的例习题，着重加强这方面的训练，就有利于培养同学们分析和解决问题的能力．

　　【作者简介】彭光焰，湖北省特级教师，正高级教师，苏步青数学教育奖获得者，从事高中数学教学研究.

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