空间几何体的外接球与内切球研究

　　补充内容一。三角形的四心：

　　1。重心：三条中线的交点。

　　★重心定理：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

　　2。垂心：三条高线的交点。

　　

　　3。外心：外接圆圆心，三条中垂线（垂直平分线）的交点。

　　★注意：直角三角形的外心为斜边的中点。

　　

　　4。内心：三条角平分线的交点，内切圆圆心。

　　

　　补充内容二。等边三角形中的一些重要的量：设等边三角形边长为a。★★

　　

　　补充内容三：正棱锥。

　　★★★正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

　　如正三棱锥、正四面体、正四棱锥。

　　★★正棱锥性质：（1）各侧棱相等，各侧面均为全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（正棱锥的斜高相等）。

　　（2）过底面正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都相等，垂线上点（正多边形的中心除外）与底面正多边形均构成正棱锥。

　　一．棱柱的外接球：

　　一、正方体、长方体外接球与内切球研究：

　　

　　二、棱锥的外接球：

　　1．正四面体的外接球与内切球研究：

　　当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。

　　

　　规律：若底面为正多边形，则过正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。

　　

　　2.普通棱锥的外接球：

　　对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边形的外心作底面的垂线即可。

　　推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，则垂线上任一点到多边形各顶点的距离都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。

　　两个类型：

　　

　　②若顶点不在过底面多边形的外心所作的垂线上，则可利用两个勾股定理求出外接球半径。

　　

　　规律：

　　

　　简单快速做法：

　　

　　三：球心常出现在直角三角形公共斜边的中点上。

　　

　　本题也可用构造两个勾股定理求出外接球半径。

　　

　　简单快速做法：

　　

　　本题也可用构造两个勾股定理求出外接球半径。

　　

　　四．空间几何体的内切球：

　　1.三角形的内切圆半径：

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