七年级上册数学知识点，赶紧给孩子收藏起来！（笔记）

　　七年级（上册）

　　1. 有理数

　　1.1. 从自然数到有理数

　　分数都可以化为小数。分数在化成小数时，结果可能是有限小数，也可能是无限循环小数。(分数都是有理数)

　　自然数的表示方法：标号（例如邮政编码，学号，座位号）、排序（可以装换成第几第几这种形式）、计数（数出来的）、测量。

　　大于0的数，叫正数；小于0的数，叫负数；0既不是正数也不是负数。（正数与负数是针对具有相反意义的量而言的）

　　整数和分数统称为有理数。

　　有理数1

　　有理数2

　　1.2. 数轴

　　像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

　　任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。（数轴上的点表示的都是有理数）

　　如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

　　0的相反数是0。

　　在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

　　1.3. 绝对值

　　我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

　　一个数a的绝对值表示为|a|。

　　一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

　　互为相反数的两个数的绝对值相等。

　　绝对值大于等于0.

　　1.4. 有理数的大小比较

　　1利用法则：.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

　　正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

　　两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

　　2.利用数轴：右边的数总是比左边的数来得大。

　　2. 有理数的运算

　　2.1. 有理数的加法

　　同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

　　异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

　　互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

　　加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

　　a + b = b + a

　　加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

　　( a + b ) + c = a + ( b + c )

　　2.2. 有理数的减法

　　减去一个数，等于加上这个数的相反数。

　　有理数加减混合运算的一般步骤是先利用减法法则，将减法转换成加法，再运用加法交换律和结合律，使计算简便。

　　2.3. 有理数的乘法

　　两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

　　任何数与零相乘，积为零。

　　( 多数相乘，偶数个负数相乘为正，奇数个负数相乘为负。)

　　有多个不为0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘。若其中一个乘数为0，则积为0。

　　若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。

　　0不论乘以任何数都等于0，不等于1，所以0没有倒数。

　　乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

　　a × b = b × a

　　乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

　　( a × b ) × c = a × ( b × c )

　　分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

　　a × ( b + c )= a × b + a × c

　　2.4. 有理数的除法

　　两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数都得0。

　　除以一个数(不等于0)，等于乘以这个数的倒数。

　　2.5. 有理数的乘方

　　一般地，在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做an，即

　　a × a × ...... × a × a = an

　　求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

　　2.6. 有理数的混合运算

　　一般地，有理数混合运算的法则是：

　　先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先进行括号里的运算。

　　2.7. 近似数

　　与实际完全符合的数称为准确数。

　　与实际接近的数称为近似数。

　　对近似数，需要知道它的精确度，一个近似数的精确度可用四舍五入法表述。

　　科学计数法：

　　常见题型：

　　3. 实数

　　3.1. 平方根

　　一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。

　　一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

　　一个正数a的平方根可以用“±√a”表示 ( 读做“正、负根号a”)，其中a叫做被开方数。

　　求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算，可以运用平方运算求一个数的平方根。

　　正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。

　　3.2. 实数

　　= 1.414 213 562 373 095 048......它既不是有限小数，也不是无限循环小数 (不能化为分数)

　　像这种无限不循环小数叫做无理数。无理数：1π以及含有π的2.开不尽的根号3.有规律但是不循环的数。

　　如果我们把整数看做小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数和无限循环小数的统称。

　　和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。

　　有理数和无理数统称为实数。

　　在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。所以，实数和数轴上的点一一对应。

　　在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数。

　　实数

　　3.3. 立方根

　　一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记做

　　。其中a是被开方数，3是根指数，符号“

　　”读做“三次根号”。

　　求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

　　一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负得立方根，0的立方根是0。

　　3.4. 实数的运算

　　实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里面的运算。

　　4. 代数式

　　4.1. 用字母表示数

　　若a≥ 0，则|a| = a ；若a < 0，则|a| = -a 。即

　　a的绝对值

　　4.2. 代数式

　　如：10a+2b，2a2这样，由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方，单独一个数或者一个字母也称代数式。

　　4.3. 代数式的值

　　一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

　　4.4. 整式

　　由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也叫单项式，如0，-1，a......

　　单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如：-3x的系数是-3。

　　一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如：ab的次数是2，-3x的次数是1。

　　由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

　　如：a2 + 3a - 2的项有：a2、3a、- 2，常数项是- 2，次数最高的项a2的次数是2，a2 + 3a - 2称为二次多项式。

　　单项式和多项式统称为整式。

　　4.5. 合并同类型

　　多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有常数项也看做同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

　　合并同类项的法则是：

　　把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

　　4.6. 整式的加减

　　代数式运算的去括号法则：

　　括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都变号。

　　5. 一元一次方程

　　5.1. 一元一次方程

　　如：2x+12=14，两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。

　　使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解。

　　5.2. 等式的基本性质

　　等式的性质1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得的结果仍是等式。

　　如果 a = b，那么a ± c = b ± c

　　等式的性质2：等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为0），所得的结果仍是等式。

　　如果 a = b，那么ac = bc，或a/c = b/c (c≠0)

　　5.3. 一元一次方程的解法

　　一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。

　　移项时应注意改变项的符号。

　　方程变形的常用方法：

　　去分母、去括号、移项、合并同类项......(去分母和移项的依据是等式的性质，去括号和合并同类项的依据是代数式的运算法则)

　　一般地，解一元一次方程的基本程序是：

　　去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 两边同除以未知数的系数

　　5.4. 一元一次方程的应用

　　运用方程解决实际问题的一般过程：

　　1．审题

　　2．设元

　　3．列方程

　　4．解方程

　　5．检验

　　问题解决的基本步骤：

　　1．理解问题

　　2．制定计划

　　3．执行计划

　　4．回顾

　　6. 图形的初步知识

　　6.1. 几何图形

　　点、线、面、体称为几何图形。

　　平面图形：图形所表示的各个部分都在同一个平面内。

　　立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内。

　　6.2. 线段、射线和直线

　　线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如：“线段AB”或“线段BA”或“线段a”。

　　直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如：“直线AB”或“直线BA”或“直线a”。

　　射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，不能颠倒。

　　直线有下面的基本事实：

　　经过两点有一条而且只有一条直线。（即：两点确定一条直线）

　　6.3. 线段的长短比较

　　线段有下面的基本事实：

　　在所有连结两点的线中，线段最短。（即：两点之间线段最短）

　　连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离。

　　6.4. 线段的和差

　　一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的差。

　　6.5. 角与角的度量

　　角是由两公条公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点。

　　角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

　　度、分、秒是角的基本度量单位。

　　1度=60分，1分=60秒

　　6.6. 角的大小比较

　　等于90。的角是直角，小于90。的角是锐角，大于直角而小于平角的角是钝角。

　　6.7. 角的和差

　　一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差。

　　从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

　　6.8. 余角和补角

　　如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。

　　如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。

　　同角或等角的余角相等。

　　同角或等角的补角相等。

　　6.9. 直线的相交

　　如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交。

　　该公共点叫做这两条直线的交点。

　　对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线。

　　对顶角相等。

　　当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

　　在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线。

　　连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

　　从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

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