不等式定义及解法(知识点整理一)

　　不等式(整理)

　　

　　

　　一、不等式的概念及表示不等关系

　　（1）一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式（inequality）.

　　（2）常用不等关系的基本语言的意义：

　　(1)a是正数等价于a＞0； (2)a是负数等价于a＜0；

　　(3)a是非正数等价于a≤0； (4)a是非负数等价于a≥0；

　　(5)a大于b等价于a－b＞0； (6)a小于b等价于a－b＜0；

　　(7)a不大于b等价于a≤b； (8)a不小于b等价于a≥b；

　　

　　二、不等式性质

　　不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

　　如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.

　　不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

　　

　　不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

　　

　　注意：乘除负数变号

　　例：将下列不等式化成“x＞a”“x＜a”的形式.

　　

　　解：根据不等式的性质1，两边同时加上3，得

　　

　　根据不等式的性质3，两边同时除以-2，得

　　

　　三、不等式的解与解集

　　（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

　　（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的解集，简称为这个不等式的解集.

　　注意：不等式的解集必须满足两个条件:

　　1.解集中的任何一个数值都使不等式成立;

　　2.解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.

　　（3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

　　不等式的解与不等式的解集的区别与联系

　　

　　不等式的解与方程的解有什么不同？

　　不等式的解是一个范围，而方程的解是固定个数限制的，如：一次方程的解是一个，二次方程的解是两个等等

　　（4）用数轴表示不等式解集的一般方法：

　　①画数轴；

　　②定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是空心圆圈；

　　③定方向，原则是“小于向左，大于向右”；用数轴表示不等式的解集，体现了一种重要的数学思想——数形结合思想．

　　例：将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

　　(1) x＞4； (2) x＜－ 1 ；

　　(3) x≥－2； (4) x≤6.

　　解：

　　

　　四、一元一次不等式

　　（1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．

　　判别条件：

　　(1)都是整式；

　　(2)只含一个未知数；

　　(3)未知数的最高次数是1；

　　(4)未知数的系数不为0.

　　例：下列不等式中，哪些是一元一次不等式?

　　

　　思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？

　　它们的依据不相同：解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.

　　它们的步骤基本相同：都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.

　　这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向（乘除负数变号）.这是与解一元一次方程不同的地方.

　　它们的结果不同：解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x<a或x>a的形式.

　　（3）解一元一次不等式的一般步骤：

　　1.去分母（优先考虑）；

　　2.去括号（优先考虑）；

　　3.移项；

　　4.合并同类项；

　　5.未知数的系数化为1（乘除负数变号）.

　　6.在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况.

　　解下列不等式

　　

　　解：去分母，得 2(x -5)+1×6 ≤ 9x………注意漏乘问题

　　去括号，得 2x -10 + 6 ≤ 9x………注意去括号法则

　　移项，得 2x - 9x ≤ 10 - 6………注意移项变号

　　合并同类项，得 -7x ≤ 4

　　

　　五、一元一次不等式组

　　

　　（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.

　　（3台湾剧）求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.

　　（4）解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况?

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