中考数学真题，如何求解三角形边上的动点问题？分类讨论方法详解

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　　三角形边上的多个动点问题是数学中考的重要题型，本文就例题详细解析动点构成正方形必须在三角形内部、动点构成线段与三角形的边长平行等问题的解题思路，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。

　　例题

　　在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过点Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC-CB于点R，如图所示，当点Q以每秒2个单位长度的速度向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB-BC-CA移动，设移动的时间为ts.

　　（1）求△BCQ的面积S与t之间的函数关系式；

　　（2）当t为何值时，QP∥AC；

　　（3）当t为何值时，直线QR经过点P；

　　（4）当点P在AB上运动时，若以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC的内部，求此时t的取值范围。

　　1、求△BCQ的面积S与t之间的函数关系式

　　过点C作CD⊥AB，交AB于点D

　　根据题目中的条件：点Q的运动速度为每秒2个单位长度，则运动t秒，点Q的运动距离=2t；

　　根据题目中的条件和结论：运动前AQ=2，点Q的运动距离=2t，则运动t秒后AQ=2+2t；

　　根据题目中的条件和结论：AB=10，运动t秒后AQ=2+2t，则BQ=AB-AQ=8-2t；

　　根据勾股定理和题目中的条件：∠C=90°，AB=10，AC=8，BC^2+AC^2=AB^2，则BC=6；

　　根据三角形面积公式和结论：AB=10，AC=8，BC=6，S△ABC=BC*AC/2=AB*CD/2，则CD=24/5；

　　根据三角形面积公式和结论：BQ=8-2t，CD=24/5，则S△BCQ=BQ*CD/2=-24/5t+96/5；

　　根据题目中的条件和结论：AQ=2+2t，AB=10，则点Q运动到点B的时间t=4；

　　所以，△BCQ的面积S与t之间的函数关系式为S=-24/5t+96/5，其中0≤t≤4。

　　2、当QP∥AC，求t的值

　　根据平行线的性质和题目中的条件：两直线平行同位角相等，QP∥AC，则∠BQP=∠BAC；

　　根据相似三角形的判定和结论：两组对应角相等的两个三角形相似，∠BQP=∠BAC，∠B=∠B，则△BQP∽△BAC；

　　根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△BQP∽△BAC，则BQ/BP=BA/BC；

　　根据题目中的条件：点P从点A出发，运动速度=6个单位长度/秒，则经过t秒，点P的运动距离=6t；

　　根据题目中的条件和结论：点P的运动距离=6t，AB=10，则BP=6t-10；

　　根据结论：BQ/BP=BA/BC，BQ=8-2t，BP=6t-10，AB=10，BC=6，则(8-2t)/(6t-10)=10/6，可求得t=17/9；

　　所以，当QP∥AC时，t的值为37/18。

　　3、当直线QR经过点P，求t的值

　　（1）点P在AB上

　　根据题目中的条件：AB=10，点P的运动速度=6个单位长度/秒，则点P运动到点B的时间t1=10/6=5/3；

　　根据结论：点Q运动到点B的时间t=4，点P运动到点B的时间t1=5/3，则在AB上点P超过点Q；

　　根据结论：AQ=2+2t，AP=6t，当直线QR经过点P，即点P、Q重合时，AP=AQ，则2+2t=6t，可求得t=1/2。

　　（2）点P在BC上

　　根据题目中的条件和结论：AB=10，BC=6，则AB+BC=16；

　　根据结论：点P的运动速度=6个单位长度/秒，AB+BC=16，则点P运动到点C的运动时间t2=16/6=8/3；

　　根据勾股定理和结论：CD⊥AB，AC=8，CD=24/5，AD^2=AC^2-CD^2，则AD=32/5；

　　根据结论：AD=32/5，点Q的运动距离=2+2t3，当点Q运动到点D时，2+2t3=32/5，则点Q的运动时间t3=11/5；

　　根据结论：t2=8/3，t3=11/5，则t2>t3，即点Q运动到点D时，点P在BC上，直线QR在BC上能与点P重合，即点P与点R重合；

　　根据题目中的条件：QR⊥AB，则∠BQR=90°；

　　根据相似三角形的判定和结论：两组对应角相等的两个三角形相似，∠BQR=∠BCA，∠B=∠B，则△BQR∽△BCA；

　　根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△BQR∽△BCA，则BP/AB=BQ/BC；

　　根据结论：BP/AB=BQ/BC，AB=10，BC=6，BP=6t-10，BQ=8-2t，则(6t-10)/10=(8-2t)/6，可求得t=5/2。

　　所以，当直线QR经过点P时，t的值为1/2或5/2。

　　4、当正方形PQMN在Rt△ABC的内部，求t的值

　　（1）点P在点Q的左侧

　　根据结论：AQ=2+2t，AP=6t，则PQ=AQ-AP=2-4t；

　　根据正方形的性质和题目中的条件：正方形的四个角为直角，四边相等，四边形PQMN为正方形，则NP=PQ，∠NPQ=90°；

　　根据题目中条件和结论：∠NPQ=90°，∠NPA+∠NPQ=180°，则∠NPA=90°；

　　根据结论：NP=PQ，PQ=2-4t，则NP=2-4t；

　　根据相似三角形的判定和结论：两组对应角相等的两个三角形相似，∠NPA=∠BCA，∠A=∠A，则△NPA∽△BCA；

　　根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△NPA∽△BCA，则NP/BC=AP/AC；

　　根据结论：NP/BC=AP/AC，NP=2-4t，BC=6，AP=6t，AC=8，则(2-4t)/4=6t/8，可求得t=4/17；

　　（2）点P在点Q的右侧

　　根据结论：AQ=2+2t，AP=6t，则PQ=AP-AQ=4t-2；

　　根据结论：AP=6t，AP+BP=AB，AB=10，则BP=10-6t；

　　根据结论：NP=PQ，PQ=4t-2，则NP=4t-2；

　　根据题目中条件和结论：∠NPQ=90°，∠NPB+∠NPQ=180°，则∠NPB=90°；

　　根据相似三角形的判定和结论：两组对应角相等的两个三角形相似，∠NPB=∠BCA，∠B=∠B，则△NPB∽△ACB；

　　根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△NPB∽△ACB，则NP/AC=BP/BC；

　　根据结论：NP/AC=BP/BC，NP=4t-2，BC=6，BP=10-6t，AC=8，则(4t-2)/8=(10-6t)/6，可求得t=18/23；

　　根据结论：t=1/2时，点P与点Q重合，不构成正方形，则t=1/2不符合条件，舍去；

　　所以，当正方形PQMN在Rt△ABC的内部时，t的取值范围为：4/17≤t≤18/23，且t≠1/2。

　　结语

　　解决本题的关键是利用新构成的三角形与原三角形的相似关系，得到对应边长的比例相等，根据题意写出边长与时间t的函数关系，再代入相似比中进行求解，就可以得到题目需要的值。

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