中考难题突破：格点相似三角形深入研究，8道例题全面解析！

　　在中考数学中，网格作图题是一类常见题型，常规的考查方向一般是几何三大变换和位似变换，难度不大，大部分同学都可以拿到满分。

　　但是，有一类网格作图题却很有难度？很多同学做起来完全是靠感觉，毫无方法可言，有一种丈二和尚摸不着头脑的感觉，这就是格点三角形相似问题，如下图：

　　如果只是让我们做一个格点三角形与已知格点三角形相似倒还好办，但是，像这种作三个格点相似三角形的题，如果没有有效的方法，很多同学恐怕只有胡乱画了。关键是有的题还不止于此，更难一点的是要求你做出与已知格点三角形相似且面积最大的格点三角形。比如下图这题：

　　那么，这种作图题到底难在哪里呢？

　　它的难点在于，要作出这种格点相似三角形，我们一般只有利用相似比去确定三条边，角度上几乎无法突破，而我们却习惯于用角度去判定相似。

　　利用三边成比例也没关系，但是，它还有一个要求就是必须是格点三角形，也就是说三边必须是格点线段，而很多格点线段都是无理数，如果没有经过专门地研究和训练，想准确找到相对应的格点线段还是比较困难的。

　　还有，就是有时好不容易确定了格点线段，当你去作图时，会突然发现网格不够长，也就是说还要受限于网格的尺寸大小。

　　总之，困难重重，不过，既然发现问题所在，突破也就不是什么难事了，突破的关键点就在于深入研究格点线段。

　　首先，我们得知道常见的格点线段有哪些。一般除了整数，最常用的就是√2、√5、√10、√13以及2√2、2√5、2√10和5√2这样几个格点线段。我们对这几个格点线段要熟记，做到心中有数。注意一点，格点线段中没有√3。

　　其次，我们得知道这些格点线段有什么特征。这些格点线段都是两个整数平方和的算术平方根，一般情况下这两个整数是固定的，但是有特殊情况，比如5√2。第二，一般来说，两个格点线段彼此相乘得数还是格点线段。第三，整数不一定在矩形的直角边上，也可能是矩形的对角线，比如5.

　　了解了这些，再去做此类题，应该会顺利很多。下面我们结合几道例题进行具体讲解。

　　老规矩，各位同学还是先自己尝试着挑战一下，感受一下这类题的独特魅力，同时感受下它的难度。做完之后，再看下面的讲解，相信会有更大的收获！

　　例1这道题算是小试牛刀，没有任何难度，第1小题图都已经给你了，无非就是根据三边成比例去判定相似即可，剩下的都是计算的事了。第2小问给了5个点，选3个构成相似三角形，也很简单，分别取两边中点就可以了。

　　例2这道题就可以初步感受到这类作图题的难度了，做一个格点相似三角形还行，如果让你作3个图，甚至4个怎么办呢？这就要求我们把相应的格点线段都找出来，一般我们可以选取最长边，根据相似比和格点线段的特征确定其范围，这样就可以尽可能多的做出图来了，而且可以进而确定面积最大和最小的格点相似三角形，直接一网打尽，岂不是很爽？

　　例3这道题就是求格点相似三角形的最大面积的，我们得先画出最大相似格点三角形才行，这也是难点，方法同上题。至于最后求面积的方法，可以利用网格的特性，整体减去空白，也可以直接利用相似比，都是比较容易的。

　　例4、例5、例6这三道题仍然是作格点相似三角形，有了上面几题的讲解，这3题应该不成问题。

　　强调几点：例4有一个要求，就是要是钝角三角形，所以要注意角度这个限制性条件。其次，面积最大的格点相似三角形的最长边，并不一定是这个网格的对角线，比如例5和例6，所以，我们作图时，切不可想当然。

　　例7、例8这两道题目与前面几题有点区别，主要利用一线三垂直这一几何模型去确定相关点的位置，所以，对于一些常见的几何模型，同学们要烂熟于心才行，以便需要的时候随时调用。

　　除此之外，例8这道题第一问，还可以利用特殊直角三角形的三边关系去确定所求格点三角形的三边长度，进而准确画图，第二问可利用对角线相等这一几何关系，联想到矩形的性质，从而构造一个符合条件的矩形即可，或者只是根据这一相等关系也可以直接作图，这里就考到了5√2这一特殊的格点线段。

　　所以，网格作图还是大有文章可做的，同学们平时一定要多总结，多钻研，打好基础，这样，考试时才能做到胸有成竹，取得高分！

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