初中数学路径最值问题之“瓜豆原理”

　　“瓜豆原理”

　　汉语有言“种瓜得瓜，种豆得豆”，我们数学中也有一种题型符合这个成语的释义，它通常出现在填空题16题，算是近年来常考的一种压轴题型，为了方便掌握，我们统一称之为“瓜豆原理”。

　　何谓数学上的“瓜豆”？初中数学考察的动点轨迹问题无非有两种，一是直线（或线段、射线），二是圆弧。当题干中出现两个及以上的动点时，若一个动点在直线（或线段、射线）上运动，另一个所求问题涉及的动点的轨迹也是直线（或线段、射线）；若一个动点在圆弧上运动，则另一个动点也在圆弧上运动并且弧度相等。这便是“瓜豆原理”。

　　“瓜豆原理”并非适用所有的动点运动轨迹问题，我们在做题前必须找到两个关键点：一、两个动点到某一定点的距离比是定值，二、两动点与该定点的夹角是定角。当题目符合这两点，那就简单，干就完事了！

　　下面整理了几题典例，供大家分析探讨。

　　1. 如图所示，点C是以o为圆心的半圆上的一点，AB=10,连接OC，M为OC中点，当c从A运动到B，求M点的运动路径长。

　　

　　2. 已知∠A0B=30°，C在射线OC上运动，D是OB上一点，OD=12，连接CD，以CD为直角边，D为直角顶点作等腰Rt△CDE，连接OE，则OE最小值是 。

　　

　　3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3,点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P=30°，∠90°，则△PQC的外心运动的路径长是 ，BQ最小值是 。

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