三角函数题并不难，重在掌握所有的公式，还要积累解题经验

时间：2023-01-16

　　前言：

　　今天遇到一位同学问题目，这道题目初中方法可以解，高中方法也可以解。于是准备把这道题目的内容发布出来，并把两种解题方法也发出来，在解题中对每一种公式，每种方法进行详细的讲解和分析。哪一个方法更好，哪种方法更适合你，相信每个人都有自己的见解。

　　本文从三个方面进行讨论，首先讲解初高中基本的三角函数公式，第二步发布试题并用初中方法进行解答，最后采用高中的三角函数方法进行解答。

　　冒险片图1

　　一、三角函数的常见公式

　　1、初中三角函数公式

　　关于四个三角函数的基本关系的公式：

　　sina^2+cos^2=1,tana=sina/cosa,cota=cosa/sina,tana.cota=1

　　备注：在初中范围，tana中，a角度不能是90°，cota中，a的角度不能是180°，0°

　　关于四个三角函数在直角三角形中的公式：

　　在直角三角形ABC中，设AB是斜边，BC和AC是直角边，AB对应的边长为c,AC对应的边长是b,BC对应的边长为a.

　　图2

　　则：sinA=a/c,cosB=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a,

　　sinB=b/c,cosB=a/c,tanB=b/a,cotB=a/b,

　　2、高中三角函数常见公式

　　高中有很多公式，而在三角形中，使用最多的是a/sinA=b/sinB=c/sinC,

　　以及cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab.

　　图3

　　二、初中方法解答三角函数试题

　　例题：在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,已知A=45°，b^2-a^2=c^2/2

　　(1)求tanC的值；

　　(2)若△ABC的面积为3，求b的值。

　　解析：这道试题其实难度不大，重在对试题进行分析。很多学生遇到这类试题害怕的原因不仅仅是心理素质不好，还是由于解题方法比较单一，稍微遇到难一点的题目就手足无措，这样不行，必须要拿到题目后，马上画出图，然后找出已知条件，进行解答。在数学上要牢记一个概念，叫作“按图施工”，无论是三角函数，还是抛物线，还是几何，都首先看图。

　　图4

　　当我第一眼看到这个题目的时候，就考虑到要过B点或C点作对应边的垂线。而到底选择过B点还是C点作垂线呢？我们首先进行简单的分析，题目中告知∠A是45°，因此无论是过B点还是C点作垂线，都可以构造出一个等腰直角三角形和一个直角三角形，这样可以充分利用勾股定理进行求解。

　　题目中要求∠C的正切值，如果过C作垂线，就会变得麻烦，如果过B作垂线，设垂线为BD，可以使得BD和AD都与AB边关联，AB的长度是c,则AD,DB的长度是√2c/2,然后结合题目中的条件b^2-a^2=c^2/2，在直角三角形BCD中，根据勾股定理，求出a,b和c的关系，这样就可以求出∠C的正切值。

　　图5

　　从题目中不难看到CD=AC-AD=b-√2c/2,BD=√2c/2,BC=a

　　根据勾股定理可知BC^2=BD^2+CD^2,

　　则a^2=(√2c/2)^2+(b-√2c/2)^2,整理可得a^2=c^2/2+b^2+c^2/2-√2bc,

　　b^2+c^2-a^2=√2bc,又因为题目中讲到b^2-a^2=c^2/2，

　　因此可得c^2/2=√2bc-c^2,

　　c(3c/2-√2b)=0,则c=0,b=3√2c/2,c是边长，不可能等于0，则b=3√2c/2

　　把b=3√2c/4代入b^2-a^2=c^2/2可得a=√10c/4

　　CD=AC-AD=3√2c/4-√2c/2=√2c/4,BD=√2c/2,

　　tanC=BD/CD=2.

　　第二个问题可以根据三角形面积公式S△ABC=1/2XBDXAC=1/2X√2c/2X3√2c/4=3c^2/16,S=3,则c=4，由b=3√2c/4可知b=3√2.

　　图6

　　三、高中方法解答三角函数试题

　　采用高中的三角函数方法解答，比较容易，从b^2-a^2=c^2/2可以看到可以采用余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=cos45°=√2/2，再结合b^2-a^2=c^2/2可以算出b和c的关系，解得b=3√2c/2，把b=3√2c/4代入b^2-a^2=c^2/2可得a=√10c/4。

　　再根据cosC=a^2+b^2-c^2/2ab可以算出cosC=2√5/5,由于三角形的三个内角都在0-180之间，因此sinC=√5/5,所以tanC=2

　　第二个问题先根据正弦定理求出∠B的正弦值,S=bcsinA/2,已经知道b=3√2c/4，a=√10c/4，以及sinA=√2/2，算出c的值，然后根据b=3√2c/4求出b的值。

　　图7

　　总结：

　　以上根据一个中等难度的试题，采用初中的解法和高中的解法进行解答。两种方法都要掌握，对解答三角函数的试题大有帮助。解答三角函数首先要根据题目中的已知条件，确定采用正弦公式，余弦公式，还是直角三角形的三角函数公式，确定好公式之后，再进行求解。这样解题就比较方便。

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