高一数学必修二：要这样捋清零向量、单位向量、平行（共线）向量

　　人教版A高中数学必修二改版新教材预习或是已经学了向量概念这部分内容的同学，都会觉得这部分的重要概念特别多。这部分学到的向量相关的重要概念主要有零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量，还有相反向量。

　　对这么多的概念，如果没有一个清楚的分类是很难搞清楚它们的含义，并快速掌握它们间的关系和含义的。下面来帮大家分好类，以便于快速理解、掌握这些重要概念。

　　我们知道任何一个向量都同时具有大小和方向这两个要素。只要我们按向量的大小和方向这两个要素来分类，上面出现的所有重要概念就都可以得到快速地理解和掌握。

　　一、按向量的长度（“模”）分类

　　如果只考虑向量的长度来分类，那么会得到两类比较特殊的向量：零向量、单位向量。

　　零向量：模长（长度）为0的向量。零向量其实就是起点和终点重合，而导致长度为0的向量。零向量的几何意义可以理解为一个点。单位向量：模长（长度）为一个单位长度的向量，有时也说是长为“1”的向量。所有长度为1个单位长度的向量，不管方向如何，都称为单位向量。平面上，把起点放在一起后，所有单位向量的终点构成一个圆。空间中，把起点放在一起后，所有向量的终点构成一个球面。【注】（1）严格地说，同一个平面上的零向量都是相等向量，同一个空间中的零向量也都是相等向量。但平面上的二维零向量一般不等于空间中的三维零向量。

　　（2）所有的单位向量未必是相等向量，因为方向不一定相同。

　　二、按向量的方向来分类

　　如果只考虑向量的方向，而不考虑向量模的大小，会有一种特殊情况叫做平行向量或共线向量。

　　平行向量，又叫共线向量。指的是所有同向或反向的非零向量间的关系。

　　【注】平行向量、共线向量，与两个向量间的相对位置无关，只与它们是否同向或反向有关。只要是同向或者是反向的两个非零向量，都互称为平行向量（或共线向量）。

　　因为零向量的方向任意，所以对零向量这个特殊向量的共线问题自然而然地需要单独讨论。于是就有了教材上对零向量共线问题的“规定”。

　　特别地，规定“零向量与任意向量平行”。即规定零向量与任意向量是平行向量。

　　【注】只有非零向量间的共线（平行），才具有传递性。

　　三、既考虑长度，又考虑方向

　　在所有模长相等的两个向量中，如果它们同向或反向，会得到以下两种特殊情况。

　　模长相等，并且方向相同的两个向量，互称为相等向量。即，相等向量指的是等长且同向的两个向量间关系。模长相等，但方向相反的两个向量，互称为相反向量。即，相反向量指的是等长且反向的两个向量间的关系。

　　向量这部分的概念虽然很多，乍看上去又很乱。但是如果我们站在一个合适的角度来分类，就能很快地理解透彻它们的含义，并把握清楚它们之间的关系。事实上，这也是我们的高中数学老师经常强调的分类讨论思想的一个现实应用。学好数学，你的数学素养便可以很好地指导你的生活。

　　学好数学，你的数学素养便可以更好地指导你的生活。如果大家还有什么疑问和见解，欢迎在下方积极地留言、讨论。

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