世界少年奥林匹克数学竞赛，八年级选拔赛初赛试题，附参考答案

　　世界少年奥林匹克数学竞赛，八年级选拔赛初赛试题，附参考答案！

　　本卷作为奥赛题，难度可想而知，本人愚钝，费了老半天，仅可完成三题，然则想倚老卖老，故理乱还正，以飨读者！

　　

　　第16题，分类讨论好解题。

　　我们知道，能被3整除的数肯定是3的倍数，若p为能被3整除的整数，则有p=3m(m为整数)；不能被3整除的数其余数可为1，也可为2，比如，若q为不能被3整除的整数，则有q=3n＋1或q=3n＋2(n为整数。

　　关于p、q，可能出现的情形将有三大类:①p、q都能被3整除(即p=3m、q=3n，m、n皆为整数)；

　　②p、q都不能被3整除(即p=3m＋1或p=3m＋2、n=3n＋1或n=3n＋2)；

　　③p、q有且仅有一个能被3整除(即一个能被3整除，另一个不能被3整除，若p=3m，则q=3n＋1或q=3n＋2；若q=3n，则p=3m＋1或p=3m＋2)。

　　然后，分别判断p＋q、p－q、pq是否为3的倍数，用图表法最简单直观，如下图所示——

　　

　　显然，若p、q为整数，则在p＋q、p－q、pq三个数中至少有1个是3的倍数。

　　第19题，对称式的完美模型。

　　用x换y、y换x，变换式与原式一样，称原式为轮换对称式，显然，有x=y，这是轮换对称式的一大特征。

　　比如，a＋b＋c=3abc，用a换b、b换c、c换a后仍为原式，故有a=b=c。

　　

　　对于本题，若x=0，显然y=0，即x=y=0；

　　若x、y都不为0时，则两边除以ⅹ，有y=1＋y/x，因ⅹ=y，故y=1＋1=2，即x=y=2。

　　故本题答案为2，即2个整数解。

　　第20题，数形结合更合宜。

　　令y1=lⅹl，y2=aⅹ＋1。

　　则y1与y2的交点即为lxl=ax＋1。

　　画图如下:

　　①y1的图:

　　

　　②y2的图:

　　

　　③y1与y2的有交点，且x为负数而非正数，即a不能小于1，否则x将有正数解。

　　

　　阴影部分即为y=ax＋1(a>1)的图象位置:

　　

　　故本题答案为a≥1。

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