高中数学a(n+1)=p·an+q^n型数列通项公式，三招破解，学生说简单

　　前面的文章讲解了递推法求解a(n+1)=p·an+c型数列通项公式的基本方法和典型例题，本文详细讲解递推法求解a(n+1)=p·an+q^n型数列通项公式的基本方法。

　　一、基本方法

　　a(n+1)=p·an+q^n型数列通项公式的求解，常用的有3种方法：

　　方法一：待定系数法：目的是构造一个等比数列

　　设a(n+1)+λ·q^(n+1)=p(an+λ·q^n)，------①

　　展开得：a(n+1)=p·an+（λ-λq）q^n，

　　解得：λ=1/（1-q），

　　代入①得：a(n+1)+[1/（1-q）]·q^(n+1)=p(an+[1/（1-q）]·q^n)

　　即{an+[1/（1-q）]·q^n}是以p为公比的等比数列，先求出an+[1/（1-q）]·q^n的通项公式，再求出an的通项公式。

　　特别提醒：只有当p≠q时，方可用待定系数法求解，如果p=q，则需要用下面即将讲到的第二种方法。

　　方法二：两边同时除以q^(n+1)

　　两边同时除以q^(n+1)，

　　得a(n+1)/[q^(n+1)]=p·an/[q^(n+1)]+q^n/[q^(n+1)],

　　整理得：a(n+1)/[q^(n+1)]=(p/q)·an/q^n+1/q，

　　当p≠q时，按照前文讲的a(n+1)=p·an+c型数列通项公式的方法求解；

　　当p=q时，a(n+1)/[q^(n+1)]=an/q^n+1/q，

　　即{an/q^n}为等差数列，那么先求出an/q^n的通项公式，再求出an即可。

　　方法三：两边同时除以p^(n+1)

　　两边同时除以p^(n+1)，

　　得a(n+1)/[p^(n+1)]=p·an/[p^(n+1)]+q^n/[p^(n+1)],

　　整理得：a(n+1)/[p^(n+1)]=an/p^n+(1/p)·(q/p)^n,

　　再按照累加法即可求出an的通项公式。

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　　根据教学中学生的实际反馈情况，待定系数法是掌握最好的一种方法，当p=q时，第二种方法即两边同时除以q^(n+1)是比较简单的方法，第三种方法计算过程复杂，容易出错。因此，笔者推荐待定系数法。

　　二、典型例题

　　掌握了基本方法，还需要通过例题来运用，只有学会了运用才算真正的学懂，下面通过两道例题来融会贯通。

　　总结：1.从例1可以看，在p≠q时，利用待定系数法求解a(n+1)=p·an+q^n型通项公式的计算最简单；

　　2.例2主要是加深大家对p＝q时的求解方法的理解，以及和p≠q进行比较，在解题时一定要注意p、q是否相等。

　　三、变式训练

　　下面再给大家两道练习题，进行巩固。

　　本文详细介绍了a(n+1)=p·an+q^n通项公式的求解，大家特别要注意题目中的p和q，选择最适合自己的方法进行求解。

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