北航发现几何学领域新知识，设计新奇轨迹体揭示滚动运动普适性质
6 名跨学科“不务正业”的研究人员，对常见的“滚动”运动现象深度探索后，完成了一项“非主流”研究，最后发表在 Nature 上。这是怎样的一项研究呢？
在日常生活中，物体的“滚动”运动极为常见，例如足球、汽车轮胎等。“物体滚动”的原理十分简单，即物体的质心位置在滚动过程中，不会在重力方向上抬高，因此不需要克服重力做功。
图丨董若宇（来源：董若宇）
北京航空航天大学董若宇教授与合作者解决了一个有意思的数学问题，即给定平面轨迹，反演得到可沿此轨迹滚动的三维几何体形状，将该几何体命名为“轨迹体”，并提出“双周期定理”描述了滚动运动的普适性质。此外，研究人员还简单探讨了以上理论方法对经典光学和量子力学领域潜在应用的可能性。
该研究有望为移动型机器人的设计提供新思路，即借助滚动运动设计在电信号驱动下可变形的材料，则其滚动轨迹可以实时操作控制，在复杂的路径下随意变换形状并持续工作。
图丨相关论文（来源：Nature）
近日，相关论文以《可沿所需路径滚动的固体轨迹体》（Solid-body trajectoids shaped to roll along desired pathways）为题发表在 Nature[1]。
该论文共同第一作者为韩国基础科学研究院高级研究员雅罗斯拉夫·I·索波列夫（Yaroslav I. Sobolev）和董若宇（现为北京航空航天大学宇航学院教授），共同通讯作者还包括韩国基础科学研究院巴托斯·A·格兹博夫斯基（Bartosz A. Grzybowski）教授、茨维·特拉斯蒂（Tsvi Tlusty）教授及史蒂夫·格拉尼克（Steve Granick）教授、瑞士日内瓦大学让-皮埃尔·埃克曼（Jean-Pierre Eckmann）教授。
在数学物理的高度将问题普适化
此前，数学家在特殊形状物体滚动方面也进行过相关研究，在经过精心设计后，其形状可以像球体一样光滑地运动，同时滚动出一条类似正弦的曲线，这些几何体被称为 Sphericon 或 Oloid。
研究团队提出了一个新问题——能否扩大这些可以滚动出不同轨迹的几何体范围？
图丨平面路径到三维球体的映射和轨迹体的存在性（来源：Nature）
在该论文中，作者们展示了任意画一条平面轨迹，采用平面轨迹对应三维几何体上的等势轨道，即能够获得沿这个轨迹滚动的三维几何体形状，研究团队将其命名为“轨迹体”，并利用 3D 打印的方法将轨迹体打印出来，并在斜面上实现了实验验证。
实际上，第一版本论文完成得较快，在投稿 Nature 后，审稿人提出疑问，为什么有的平面轨迹可以找到对应的轨迹体，有的平面轨迹却无法找到？他们认为，应该从数学微分几何的角度，对轨迹和轨迹体之间的对应关系进行更普适化的描述。
为此，研究团队找到数学和理论物理方面的专家进行合作，又经过了一年多的讨论和尝试，终于发现轨迹体的存在性定理。
图丨π 性质和双周期定理（来源：Nature）
研究人员发现，当在平面上随意画一条曲线，并将它作为一个周期，在后面再画一个周期，而寻找对应这样“两个周期”曲线的轨迹体总能够实现，研究人员将其命名为“双周期定理”。
实际上，在解决“新问题”的过程中，他们还发现了一些新知识。具体来说，符合 π 性质的曲线可以通过找等势轨道的方法获得对应的轨迹体，而绝大部分“双周期”曲线都符合 π 性质。
在论文的最后，作者们还尝试将这一几何学领域的新知识拓展到经典光学和量子力学系统中。
审稿人认为，该论文的研究方法“非常简单、清晰和直接”，而其中对应的科学问题则“出奇简单和高度原创”。董若宇表示，该研究的突出特点，是提出别人无法想到、没有真正尝试过的新问题，并给出简单直接、具有广泛适用性的解决方法。
独树一帜：跨学科的“非主流”研究
这项偏重数学和几何学的“非主流”研究，是由一帮“不务正业”的研究者们共同完成的，研究者的学科背景包括工程热物理、软物质、光学、计算物理、化学和数学。
据了解，该课题最初完全由兴趣驱动，在确立研究滚动问题后，董若宇在网上搜索了各种有意思的几何体，除了在文中提到的几何体 Sphericon 和 Oloid，还有一种比较经典的叫做勒洛三角形，它是像球体一样的等高的几何体，因而可以用作车轮。
另外，他还找到了一种叫做 G?mb?c 的几何体，它具有和不倒翁类似的特点，但是不同点在于，不倒翁密度分布不均，而这种几何体是三维均匀的，它是从数学上严格推导后获得的、只有一个稳定和一个不稳定力学平衡点的凸均匀体。
除了这些“正经”的几何体之外，董若宇还找到了一些“不正经”的例子，比如下图中奇怪的车轮。
动图丨奇怪的车轮（来源：YouTube）
董若宇表示：“实际上，我还尝试用 Sphericon 来做车轮，这个问题的难点在于，一般的车轮的车轴取向是固定的，而 Sphericon 的滚动轴取向是一直变化的，所以我添加了一个小机械装置，来尽量固定它的转动轴。”
基于此，研究团队围绕着滚动做了很多调研，希望获得一些灵感，并且动手做了一些现在看来很“荒唐”的尝试，而最终轨迹体的成熟想法，也是在前期的这些努力和试错的基础上建立起来的。
该研究看上去“非主流”，但实际上其与董若宇长期的研究兴趣也密切相关。在清华大学读博期间从事工程热物理研究，博士后期间研究软物质物理，再到目前北航宇航学院任职，他的主要方向之一是研究非球形微纳米颗粒在液体中的转动扩散（实质是布朗运动），以及转动和定向控制方法。据介绍，这些研究的终极目标是研发高导热材料（如石墨烯等）掺杂的热功能复合材料，用于集成芯片和航空航天的热管理领域。
“我很庆幸有机会参与到这个滚动‘轨迹体’的研究中，从微纳尺度的转动布朗运动到宏观尺度的滚动运动，既是跨尺度也是跨学科的尝试。如何融合不同尺度的转动/滚动规律以及融合不同学科的物理问题和思想，是非常值得思考并实践的方向。”他说。
对于未来的研究方向，董若宇表示，他希望利用这种特殊的滚动运动，来实现基于颗粒形状的分离。目前，董若宇在深空探测方面已经在开展初步的尝试，并期望将这种有趣的滚动运动，从颗粒流动的角度或者从辅助型机器人的角度，与例如月球土壤采集等过程进行结合。
“跨界从来不是一件易事，我自己在研究生涯中就在不停地跨界，所以深有感触。也许这样一个不太主流的工作就需要这些来自不同领域，但又充满好奇心的研究者才能合力完成。”他最后说道。
参考资料：
1.Sobolev, Y.I., Dong, R., Tlusty, T. et al. Solid-body trajectoids shaped to roll along desired pathways. Nature 620, 310–315 (2023). https://doi.org/10.1038/s41586-023-06306-y
https://www.youtube.com/watch?v=auJ_yTdfJ1U
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