七年级下学期，正多边形镶嵌问题，掌握解题技巧

　　镶嵌问题指的是用一种或几种多边形进行拼接，彼此之间不留空隙也不重叠地铺成一片。镶嵌问题中用得比较多的为正多边形，因此我们需要了解正多边形的内角。比如正三角形每个内角为60°，正四边形每个内角为90°，正六边形每个内角为120°，正n变形的每个内角为（）。求正多边形的内角也可以借助外角的知识点，多边形的外角和为360°，先求出一个外角的度数，再根据外角与相邻的内角互补，得到正多边形每个内角的度数。

　　01同形镶嵌问题

　　正多边形要能够镶嵌，那么共顶点的各个角度之和等于360°，如果使用一种正多边形进行镶嵌，那么该正多边形的内角一定可以被360°整除，并且要形成镶嵌，那么至少需要三个图形，三个以下是不可能的，六边形以上的正多边形也不能进行镶嵌。

　　由此，我们可以得到，能单独镶嵌平面的正多边形只有正三角形，正四边形和正六边形。过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°；过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°，4个90°正好是360°；同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°。

　　02异形镶嵌问题

　　除了利用相同的多边形进行镶嵌以外，也可以利用两种多边形、三种多边形或者多种多边形进行镶嵌。如果利用两种正多边形进行镶嵌，满足条件的有六种情况：（1）1个正三角形，2个正12边形；（2）2个正三角形，2个正6边形； （3）3个正三角形，2个正4边形； （4）4个正三角形，1个正6边形；（5）1个正四边形，2个正8边形； （6）2个正五边形，1个正10边形。为了便于记忆，可简单记为（3，12，12）、（3，3，6，6）、（3，3，3，4，4）、（3，3，3，3，6）、（4，8，8）与（5，5，6）。

　　三种、四种等等也能镶嵌，这类问题考查选择题居多，因此需要知道什么是镶嵌？镶嵌问题需要满足两个条基本特征：（1）拼接点处的各个角之和等于360度；（2）拼接边相等。

　　例题1：某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种边长相同、形状不同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖是（ ）

　　A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形

　　解：A、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，∴能密铺；

　　B、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，∴能密铺；

　　C、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；

　　D、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，∴能密铺．

　　例题2：用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是（ ）

　　A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6

　　解：正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，

　　根据题意可知60°×m+120°×n=360°，化简得到m+2n=6．

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