数学思想的力量
数学问题有两个极端往往会成为难题，一个是散乱的数据分析，一个是高度的形式抽象；前者往往无从下手，后者常常难以着力。但对于中学生来说高度抽象的东西其实主要出现在大学的课本里，我们面对的一类难题通常就是散乱的数据分析，比如这样一组数据——a=1/101，b=ln1.01，c=e?·?1-1——它们就常常会出现在我们考试时的选择题里，比如让我们比较大小，可又无法直接计算，当然也就成了难题。但真的无从下手吗？当然不是，我们有的是办法。杨建朝老师用一节课、一组题为我们展示了这样的办法，同时也让我们领略到了数学思想的力量，以及其在解题过程中所能起到的高屋建瓴的作用。
4月18日晚自习时间，蒲城县第三高级中学高三年级进行“名师大讲堂”活动，邀请蒲城县教育学会会长杨建朝老师做解题方法指导。这一节课就是处理一套10个题的选择题，都是类似以上数据的比较大小，是选择题中比较难的一个题型。提前一周把题印发给学生，让学生先尝试去做。没有答案，因为杨老师也没有，题从网上选取，但买答案对一个数学老师不合适；而只有师生在无答案影响的课堂里才能找到适于学生应试情境的教法，这是杨老师一贯的做法。这节课就是这样开始的，三楼的录播室，高三三班的学生，同步到每一个高三教室，面对全体高三学生的辅导，杨老师充满热情和责任。首先板书方法指要——归基变形，化异为同，化繁为简，画图找点——这几乎是杨老师讲题时的口头禅，因为这是他多年来解题和教学经验的结晶之一，也是对重要数学思想的总结和运用。“归基”“变形”“化异为同”这些思想会在你“山重水复疑无路”的解题情形下给一个思维的起点。具体的阐明了基——基本知识，基本技能，基本思想方法。本节的基就是基本初等函数及其性质，基本不等式，作差、作商比较法，放缩法，导数应用，方程思想，函数思想。
尽管随同试题发下去的就有提示——“构造函数比较大小”，但是依然有很多学生不明所以，因为尚不明白比较大小为什么要构造函数以及如何构造函数；因此这一节从“函数的本质”开始，一组数据具有相同的形式结构，或者通过变形成为相同的结构，说明它们很可能是同一个函数的不同数值；将这些结构的相同之处汇集起来就是函数结构，然后所有的数据变形以后我们就上升到一个更好的思维平台。看似无从下手的几个数据，我们能用的工具少之又少，而一旦用函数的思想思考就能够用到处理函数问题的大量工具——各种函数的概念、性质、公式、定理以及相互关系和求导等等。也就是说越是简单到“没有联系”的问题越是需要更基础的解决办法，对于数学而言，就是需要你具有一定的数学思想，而这是“课程标准”从小学到高中一以贯之的要求。杨老师最反对一个教师讲题时“就题论题”的做法，因为他只能解决数学题表层结构的问题，不能深入到思维层面，不能惯穿相关数学思想，那学生所能学到的方法就只能解决相似的简单问题。题干是表层结构的问题，看不出散乱数据的数值联系或结构联系，就无法接触到题干的深层结构，也就解决不了问题，而凭什么“看”——当然是数学思想！哪怕你是凭直觉看到了本质也是数学思想在其中起了作用。杨老师从具体到抽象，再从抽象到具体，阐明了这类题是如何产生的，又如何进行分析问题，解决问题，从而使学生更好地掌握了问题的深层本质，使学生茅塞顿开，豁然开朗，好像找到了解决问题的金钥匙，脸上洋溢着一种无比享受的幸福，这不正是数学课标中情感价值态度目标的完美体验。
难题为什么难，其实是相对的，相对于学生的数学现状；而难题之所以难，其实是难在第一步——一看就不知道该如何下手，然后就慌乱了，特别是考试的时候。但为什么会卡在第一步呢？我们看看杨老师怎么解决这个问题的。这是第一个问题，如上所见，三个数，一个是对数形式，一个是指数形式，但101、1.01、0.01已经具有了相同的要素，这个好变形，于是——a=0.01/（1+0.01）、b=ln（1+0.01）、c=e?·?1-1，关键也是这第一步，为什么能想到这一点，因为再散乱的数据能出到一个题里就一定有共同之处，你需要意识到要把它们化成函数，要向函数的方向变形，这些思想会引导你走出合理的第一步。然后——用x代替0.01，也就是还原出了其函数形式：f(x)=x/(1+x）,f(x)=ln(1+x),f(x)=e?－1。这就有了第二个难点，这是三个不同的函数，如何比较大小？这个时候相关数学基础非常重要，既是函数无论什么情况下都要先确定其取值范围，只有在同样的取值范围中才可能比较大小；而比较大小本质上就是运用“作差”的数学思想和方法，想到这一点是解决多函数问题的关键。于是选两个函数作差，求导，然后看所求数据所在的函数段（由取值范围决定）其端点处的大小关系，就能确定两个数的关系，如果不能完全排除就再用作差法。这个题是比较难的，而杨老师讲解中发现的问题比这个问题更需要学生们注意——一些基本的导数公式和方法学生掌握得不够，这样在需要回归基础运用基础时便无法快速进入下一步，无形中把简单题都会变成难题。
另外的题型相对比较简单一些，特别是掌握了构造函数的思想和方法之后。比如：a=1/50，b=2ln（sin(1/100）+cos(1/100))，c=6/5ln(51/50)，其大小关系的比较。之所以相对简单是因为只涉及到对数函数，当然复合函数的运用增加了难度。很明显其它两个数中都有1/50，而这个指数三角函数的复合形式里是1/100，显然要对其做出变换。这个时候就需要一个技巧——把前面的系数2，挪到（sin(1/100）+cos(1/100))上面成为二次形式，然后用公式就化成了需要的结果。这个过程中杨老师强调的数学思想是“降次”，看到三角函数的角度需要减半，而就有个系数2在对数函数里，那就可以挪上去，把三角函数变成二次；如果没有这个系数2，只要明确了要降次就可以通过变形找出一个2，如1/2×2。在课后的交流中杨老师说，技巧后面都是数学思想，你都没有想到降次，还怎么用相关技巧。
相对更简单的题目是只需要构造一个函数就能解决问题的，如：a=2ln3-4，b=2ln(7/2)-√11-1，c=2ln4-√13-1，如何比较大小。构造的函数显然是对数函数，其自变量为3、7/2、4，替换为ｘ；有两个数中有-1，函数形式就应该有-1，而第一个数-4可以变为-3-1；函数形式中一定有根号，√11、√13，而第一个数中3可变形为√9，可见结构一致。在一致的结构中，就要把3与9，7/2与11，4与13分别用一个值表示出来，它们的关系又是一个函数关系，就想到归为基本初等函数关系，首先考虑一次函数关系，解决不了，可以考虑其它函数关系，利用方程思想，通过待定系数法，完美的完成了函数的构造过程。由于是一个函数，只要通过其单调性就可以判断了。
这类题中还会用到“放缩”的数学思想和方法，而放缩法本质上是用一个范围来代替其间的一个数据，比如√13，参与比较大小是难以计算，但可用(√9，√16)来替换。比如这道题：a=e1·1-2√7，b=√1.4-1，c=2ln1.1，在比较大小时就需要用到放缩法。杨老师常说，“对指不见面，见面必生乱”，就是说一个题中有对数有指数就很麻烦，这是就需要消去一个，也就是通过变形使其易于计算。像本题中e1·1这个数很不容易估算，但可以通过放缩法将其置于一个范围之中：e1·1<e1·?＝√e3<√28，而a=e1·1－2√7就小于√28－2√7＝0，就此判断a是负数，这样就能排除两个选项。如果能灵活运用这种方法，就一定能提供做题速度。
这一节课上了两节课的时间，而同学们依然兴致盎然。杨老师并没有讲完十道题，因为思想意识提高了，方法掌握了，学生们觉得不需要讲了。杨老师还讲了出题人的思路、依据，让学生们明白，原来难易的变换在出题人那里不过是提供条件的多少罢了。本来是一个或几个函数的几个具体的数值，他隐去函数尽可能多的外在形式，只是“小荷才露尖尖角”，而你如果只是像“早有蜓蜓立上头”，只是“立上头”那再“早”也没有用，你得探勘下面，下面才是原因，才是本质，而能透过现象看本质的只有思想——锋利如刀的思想，而数学就是我们思想智慧的磨刀石。从杨老师的课堂上我们感受到他对数学的热爱，对数学教学的激情，以及对学生们的循循善诱，和对难题的解题自信。对杨老师而言不过是教学状态的回归，而对我们而言却有着很多的启示——牢记数学课本上所有的内容，凝聚我们的数学热情，锻炼我们的逻辑思维，进而涵养我们的数学思想。而当你具有了丰富的数学思想时，难题便会越来越少，你的解题思路便会很容易走出关键的第一步——你将从题干的表层结构中看出其深层结构，从数据的散乱无章中找出其可能的联系，从形式的多重复合中找到其破题的起点。难题是什么，是数学殿堂的一个台阶、一个窗口，数学思想将引领我们登堂入室，从而柳暗花明。
2023年4月21日
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