为何都说2023年新高考一卷数学简单! 看过这道导数题, 你就明白了

　　作为2023年高考关注度最高的一套数学试卷，新高考一卷数学的难度相比去年下降了不少。高考结束后，有考生表示自己就没有做过这么简单的高考数学试卷，而2022年的考生只能无奈地表示，终究是2022年考生承受了一切。那么今年新高考一卷数学真的很简单吗？看过这道导数大题你就明白了。

　　

　　今年新高考一卷数学最大的特点就是“反套路”。比如这套试卷解答题的设置顺序就出乎了很多人的意料，像以往经常出现在第一道解答题的数列变成了第四道解答题，而以往通常作为压轴题的导数题却成了第三道解答题。解答题不仅顺序有了调整，而且整体的难度也下降了很多。下面我们就一起看看这道新高考一卷导数大题。

　　

　　先看第一小问：讨论f(x)的单调性。

　　要讨论解析式比较复杂的函数的单调性，我们通常是使用导数来处理的。

　　由f(x)=a(e^x+a)-x得，f'(x)=ae^x-1。由于e^x＞0，所以当a≤0时，ae^x≤0，ae^x-1＜0，即f'(x)＜0，故此时f(x)在R上单调递减。当a＞0时，令f'(x)=0，解得x=-lna，又f'(x)为增函数，所以当-∞＜x＜-lna时，f'(x)＜0，故此时f(x)单调递减；当-lna＜x＜+∞时，f'(x)＞0，故此时f(x)单调递增。

　　

　　第一小问的难度不大，但是需要分类讨论，而分类讨论是很多同学比较害怕的，因为他们不知道该怎么来分类。

　　其实，在利用导数讨论函数单调性时，我们通常先讨论导数恒为正或恒为负的情况。比如本题中，我们就先讨论了当a≤0时，f'(x)＜0恒成立的情况。这种情况往往也是最简单的情况，可以确保先拿到一定的分数，然后再讨论a＞0的情况。

　　

　　接下来再看第二小问：证明结论成立。

　　这一问要证明的是当a＞0时，f(x)＞2lna+3/2，结合(1)可知，当a＞0时，函数f(x)在x=-lna处取得最小值，即f(x)的最小值为f(-lna)=a^2+lna+1。所以要证明f(x)＞2lna+3/2，就只需要证明f(x)的最小值大于2lna+3/2即可，即a^2+lna+1＞2lna+3/2，整理后得到a^2-lna-1/2＞0。这样就转化成求函数g(a)=a^2-lna-1/2在a＞0上恒有g(a)＞0即可，即只需要证明g(x)在a＞0上的最小值大于零即可。

　　于是，接下来对g(a)求导，再求出g(a)的最小值即可证明结论成立。

　　

　　作为一道导数大题，今年这道题应该是近年来最简单的一道导数大题了，难怪考生都说今年新高考一卷数学简单。