沪教版数学预初六年级上学期6A笔记
沪教版数学6A笔记
第一章 数的整除
1、整数(integer)与自然数(natural number)：
1) 自然数：0和正整数 —— 最小的自然数：0。
2) 整数： 自然数和负整数—— 没有最大或最小的整数。
2、区分整除与除尽：
1）整除：a÷b=c（a、b、c均为整数，b≠0，且余数为零），则a能被b整除，或b能整除a。
** 注意：被除数、除数和商要是整数，非整数不是整除，比如【2.6 ÷1.3=2】不是整除。
2）除尽：被除数和除数不一定是整数，商一定是有限小数，余数为零。
** 除尽包括整除。
3、因数与倍数
1）整数a能被整数b整除，则a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
2）一个数的因数：个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。
3）一个数的倍数：个数无限，最小倍数是它本身，最大倍数不存在。
4、因数定律：
1）因数个数：质因数的次数n+1连乘；以12=2 X 2 X 3为例，因数个数为（2+1）X（1+1）=6个。
★只有同一个质因数的特殊情况：因数个数为：次数n+1；如8=2 X 2 X 2，因数个数为3+1=4个。
2）因数的和：每个质因子的所有可能，相加再连乘。
以12=2 X 2 X 3为例，因数的和为（2的0次方+2的1次方+2的2次方）X（3的0次方+3的1次方） = （1+2+4） X （1+3） = 28.
3）因数的积：本身的N次方 （N为因数的个数除以2）
以12=2 X 2 X 3为例，N为 6÷2=3，因数的积为：12的3次方=1728。
5、奇数与偶数：
1）能被2整除的整数叫做偶数（even number）, 不能被2整除的整数叫做奇数（odd number）。
** 有正奇数、负奇数，也有正偶数、负偶数。
2）零0是偶数。 0能被任何非零自然数整除。
3）偶数的表示：2n， 奇数的表示：2n+1或2n-1，n为整数。
4）运算性质：奇±奇=偶，奇±偶=奇，偶±偶=偶，奇X奇=奇，奇X偶=偶，偶X偶=偶。
5）若干个奇数的乘积还是奇数，偶数与整数乘积是偶数。
6）★若干个整数的积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；
★若干个整数的积是偶数，那么其中至少有一个数是偶数。
6、整除特征：
1）2的整除特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；
2）5的整除特征：个位上是0或5的整数；
3）3、9的整除特征：所有数位上的数字之和，能被3、9整除；
4）11的整除特征：（奇数位和-偶数位和）的绝对值整除11；
5）4的整除特征：偶数，且末两位能被4整除，即：十位数为奇数，则个位是2，6；十位数为偶数，则个位是0，4，8。
6） 25的整除特征：末两位：00，25，50，75。
7）8和125的整除特征：末3位能被8或125整除。
8）7的整除特征：截尾-（尾X2）整除7，即：①截去个位； ②余下数减个位的2倍； ③差是否7的倍数。
7、素数与合数
1）正整数 按因数个数分类：1、素数、合数。 ★ 1既不是素数，也不是合数。
2）100以内的素数表：
8、分解素因数：
1）分解素因数定义：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来。
2）★树枝分解法 和 短除法。
3）第一，要写全，如60=2X 2X 3X 5，其中“60=“必须写上，此处容易漏掉； 第二，素因数要按从小到大的顺序写，顺序写错不得分。
4）★在填空题如果要填【素因数】，素因数重复的要重复写，此处易错：
如：24的素因数有：2，2，2，3；如：24与8共有的素因数有：2，2，2。
★ 但因数可以不重复写。
9、公因数：（公因数有限个）
1）几个整数公有的因数叫做这几个整数的公因数（common factor）。其中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数（greatest common factor）。
2）互素：如果两个整数只有公因数1，这两个数互素。
**相邻的两个正整数一定互素。
3）★短除法求两个整数的最大公因数：除到两个商互素为止，然后把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
10、公倍数（公倍数无限个）
1）几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数（common multiple）。其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数（least common multiple）。
2) ★短除法求最小公倍数：除到两个商互素为止，如图。
3）三个整数的最小公倍数：如图。
11、最大公因数和最小公倍数的特别情况：
1）若整数a，b互素，则最大公因数（a，b）=1，最小公倍数 [a，b]=ab;
2) 若整数a为b的倍数，则（a，b）=小数b，[a，b]=大数a;
3）关系：（a，b）X [a，b] = ab。
第二章 分数
1、分数与除法
1）分数的意义：部分÷整体，注意是平均分配。
2）分数与除法的关系：被除数=分子，除数=分母，分数线=除号。
2、分数的性质
1）基本性质： = = (b≠0，m≠0, n≠0).
2) 分子扩大（或缩小）n倍，分数就扩大（或缩小）n倍；
分母扩大（或缩小）n倍，分数就缩小（或扩大）n倍。
3）最简分数：分子和分母互素的分数。 约分：化最简分数的过程。
4）“A是B的几分之几 或 A占B的几分之几”，其中“是”和“占“等于分数线，即A/B。
3、分数大小比较
1）同分母：分子越大，分数越大；同分子：分母越大，分数越小。
2）通分：将异分母分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数。
3）分数化小数。
4、分数的加减
1）分数的加减： 同分母分数加减，分母不变，分子相加减；
异分母的分数加减，先通分，再按同分数进行加减。
2）裂项： = - , = -
5、分数的乘法
1) 分数 X 整数 x c : a 与c约分，b x c作为分子。
2）分数X分数：① 带分数化简；②对角线进行约分；③
6、分数的除法
1）1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。
1 ÷ = (p ≠ 0, q ≠ 0).
2）分数的除法：两分数相除，等于被除数乘以除数的倒数（分母不能为0）。
3）倒数：乘积为1； 相反数：和为0； 负倒数：乘积为 -1；
4）倒数是其本身的数：±1； 0没有倒数； 真分数的倒数比它本身大。
5）带分数取倒数：先化成假分数； 小数取倒数：先化成分数。
7、分数化小数
1）如果最简分数的分母中只含有2或5的素因数，能化为有限小数；如果其分母中含2和5以外的素因数，则该分数不能化有限小数。如：
= 0.125， = = 0.25， = 0.375 ， = = 0.5
=0.625， = = 0.75， =0.875
= 0.2， =0.4， = 0.6， = 0.8
= 0.04， = 0.008， = 0.1， = 0.01
2）分母20: 分子X 5；分母25：分子X 4；分母50：分子X 2；分母125：分子X 8。
8、小数化分数：
1）① 整数部分作为分数的整数部分； ② 有n位小数，则1后面跟n个0作分母，原数小数点去掉作分子； ③ 约分。
2） 带单位的小数化分数，如：2.5cm = m = 2 cm
3）纯循环小数：从第一位小数位开始循环。
纯循环小数→化分数：循环节几位，分母添几个9，循环节作分子。
如：0.3333… = 3/9 = 1/3。
4）混循环小数→化分数：循环节几位，分母添几个9，不循环小数有几位就在9后面加几个0； 分子：所有小数部分减去不循环部分。
★如：0.136 36 36 … =（136-1）/990 = 135 / 990 = 3/22 (分子分母同时除以45化简)。
9、单位分数
1）n的因数为n1, n2, n3…， 从中挑选2个因数n1、n2:
则 = = +
2) 例：12的因数有1，2，3，4，6，12，任取其中两个如3和6，将拆成单位分数：
= + = 化简 =
10、分数小数的四则运算
1）加减运算：① 能化有限小数，用小数计算； ②不能化的，用分数计算；
2）乘除运算：①小数化分数；②除化为乘再约分； ③ 小数也能约分。
※ 注意：先化简，再乘除。
11、分数运算的应用
1）求一个数是另一个数的几分之几？ （a÷b）
2) 一个数的几分之几或几倍是多少？（a X 几分之几或几倍）
3） 已知一个数的几分之几或几倍是a，求这个数？ （a ÷ 几分之几或几倍）
第三章 比和比例
1、比的意义
1）比（ratio）的概念：
a : b = , 其中a为前项，b为后项（b≠0），中间:为比号。
2） 比值：前项除以后项所得的商。
求两个同类项的比值时，如果单位不同，要化成同单位。
同类型的数比值无单位。
3）比、分数、除法的关系：
2、比的基本性质
1）比的基本性质：a : b =am : bm= : (b≠0 , m≠0, n≠0)
2) 比的化简：根据比的性质，把比化为最简整数比：第一，整数； 第二，互素。
3）三项连比的性质：
如果a : b=m : n, b : c=n : k, 则a: b: c=m: n: k;
如果k≠0，那么a : b : c=ak : bk : ck=:。
4）求连比：①找相同项；②化最小公倍数；③写连比。
例：a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5, 求a : b : c。
a : b = 2 : 3 = 8 : 12, b : c = 4 : 5 =12 : 15,；
则a : b : c = 8 ：12 : 15
3、比例
1）比例的项
a : b = c : a，则b、c为比例内项，a为比例外项。
a : b = b : c，则b叫做a与c的比例中项。
2）比例的基本性质：a : b = c : d ad = bc
3）比例基本性质的应用：
成本 X （1+盈利率） = 售价； 原价 X 折数 = 现价； 成本 + 利润 = 售价。
4、百分比
1）百分数： = n%
2）百分数与分数和小数的互化：如图
5、百分比的应用（一）
1）部分/ 整体=%，整体X %=部分，部分÷%=整体；
2) 及格率 = （及格人数/ 参加考试总人数）X 100%， 不及格率 =1 – 及格率；
合格率 = （合格产品数/ 产品总数）X 100%，不合格率 = 1 – 合格率；
3）增长率 = （增长的数/ 原来的基数）X 100%
原来的基数 X （1 +增长率） = 现在， 原来的基数X （1- 下降率） = 现在；
4）盐/（盐+水）=盐水浓度；
5）百分率无单位。
6、百分比的应用（二）
1）A是B的百分之几：A/B 百分数；
2）A比B多（少）百分之几：(大-小)/B 百分数；
7、百分比的应用（三）
1）成本 X (1+盈利率) = 售价，成本 X (1-亏损率) = 售价；原价 X 折数 =现价；
2）成本+利润=售价。【盈利率 = (售价-成本)/成本，亏损率=(成本-售价)/成本】；
3) 储蓄利率：本利和= 本金+利息 = 本金 + 本金X期数X利率 （注意单位统一）；
※ 月利率 X 12 = 年利率。
8、等可能事件
1）概率（Probability）：表示事件发生的可能性大小。
概率P = 发生结果/ 所有结果，0 ≤ P ≤ 1。（P=1是必然事件，P=0是不可能事件。）
2）所有结果可能性相等：等可能事件。
例：袋中装有4颗棋子：有1颗白色棋子W，和3颗黑色棋子B1、B2、B3。任取其中3颗的可能颜色组合为四种：【B1-B2-B3, W-B1-B2, W-B2-B3, W-B1-B3】，这4种结果出现的可能性是一样的。
3）运用分数的思想，从“等分“的角度解决问题。
第四章 圆和扇形
1、圆的周长
1）圆心o，半径r，直径d。
圆心不是圆的一部分。
同圆的半径或直径相等，有无数条半径或直径。
2）圆周率Π是无限不循环小数，通常Π取3.14。
3）圆的周长C = Πd = 2Πr.
4) 圆的周长/直径/半径成比例：C1/C2 = r1/r2 = d1/d2。※
5）
6）
2、弧长
1）圆心角n。：圆心引出两条半径的夹角。
2）弧长L = = . 2
3) 半圆周长=C半圆+2r。
3、圆的面积
1）公式推导：S圆 = 底X高 = c.r= 2Πr.r = Πr.r = Πr2。
2) 衍生公式：S圆=Πr2 =Πd2 ； S圆=Πr2 =Π(2 =； r=c÷2Π。 ※
3) 求阴影部分的面积（由两个同心圆所组成的圆环）：
4、扇形的面积
1）扇形的组成：半径、圆心角、弧。
2）扇形面积公式：S扇形 = . 2 = Lr。
3）半径增大，S扇形增大；圆心角增大，S扇形增大。
5、组合图形的面积（一）
1）割（加法）
2）补（减法）
3）平移
4）翻折
5）其他
6、组合图形的面积（二）
1）一个圆面积为一个半圆形面积的1/2，C圆=37.68 cm，求C半圆。
解：d圆 = C/Π = 37.68 / 3.14 = 12（cm）
r圆：r半圆 = 1：2 , 则r半圆 =12（cm）
则：C半圆 =Πr+2r = 3.14 X 12 + 2 X 12 =61.68 (cm)
2) 正方形边长为4dm, 求S阴。
3）AB=AC=9cm，求S阴。
4) d = 6cm, 求S阴。
END
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