中考难点，几何综合与探究压轴题求解有招数，复习提升应关注
距离中考不到100天，许多同学也已经进入最后一轮复习。集中精力攻克一些重难点，是眼下拔高成绩的关键。但很多同学表示，中考数学中难度大、分值高的压轴题，是一块非常难啃的硬骨头，解答压轴题时，往往信心不足，往往每写出来第一小问，下面两问思路不畅，就举手投降了。久而久之，每次考试做到压轴题，还没读题就已经畏惧三分，感觉已经注定要平白无故丢掉十几分。我们知道，在中考这样的大型考试中，多一分就能超过数人，更别说十几分。尤其是对于目标考到130分以上的同学来说，这道关键题是必须要拿下的！
综合与探究题题型特点
纵观近五年各省市中考压轴题，除了大多也以二次函数为背景框架的压轴题外，也出现很多以几何综合与探究型的形式出现，它以基本几何图形为背景，在动点或者图形变换中涉及三角形性质、判定、全等、相似或特殊的平行四边形等知识。主要涉及的类型有：运动产生的线段、面积、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形问题。主要考查学生综合运用知识的能力，其思维难度高方法灵活。
综合与探究题作为考试的一个重要考察点，综合了几何的知识，再涉及动态变化，函数的极值问题。对学生的分析判断、推理论证、空间观念和探究能力都有较高的要求，考查了学生的数学综合应用能力，符合课标要求。
综合与探究题题型分析
几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力。以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：
①.证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；②.证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆位置关系等）；③.几何计算问题；④.动态几何问题等。
（1）几何型综合题：
主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设与结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
例1.（2019淄博中考题）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求MB/MG的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中MB/MG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
【解析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线与H．证明△DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2√2a，BF＝√2a，求出BM，MG即可解决问题．
（2）（1）中MB/MG的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法求出BM，MG（用m表示），即可解决问题．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
例2．（2019襄阳中考题）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：GF/AE的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BC/AB＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝2/3时，若tan∠CGP＝3/4，GF＝2√10，求CP的长．
【解析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ． ②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
（2）结论：FG/AE＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线与M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．PC＝9√5/5．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题。
（2）分类讨论问题：
分类讨论问题主要考查分类讨论的数学思想，常见的类型有：等腰三角形、直角三角形、相似三角形，平行四边形(矩形、菱形、正方形）。有些题目在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。
例3.（2019湘潭中考题）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5√3，CD＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．
（1）求∠CAD的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，
①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．
【解析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解决问题．∠DAC＝30°．
（2）①分两种情形：当NA＝NM时，当AN＝AM时，分别求解即可．
②∠MBN＝30°．∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，利用四点共圆解决问题即可．
综上所述，可求满足条件的CM的值为5或5√3．
（3）首先证明△ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题．可求FH＝5√3/6．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题。
例4.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是射线DC上的点，连接AE，将△ADE沿直线AE翻折得△AFE．
（1）如图①，点F恰好在BC上，求证：△ABF∽△FCE；
（2）如图②，点F在矩形ABCD内，连接CF，若DE＝1，求△EFC的面积；
（3）若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则DE的长为______．
【解析】（1）先利用同角的余角相等，判断出∠CEF＝∠AFB，即可得出结论；
（2）先判断出△FGE∽△AHF，得出EF/FA=GF/AH，进而得出AH＝5GF，在Rt△AHF中，根据勾股定理求出GF＝5/13，即可得出△EFC的面积为5/13；
（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上，再分别分两种情况，利用勾股定理直接计算或建立方程求解即可得出结论．
设DE＝x，∵以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，
∴①当点E在线段CD上时，∠DAE＜45°，
∴∠AED＞45°，由折叠知，∠AEF＝∠AED＞45°，
∴∠DEF＝∠AED+∠AEF＞90°，∴∠CEF＜90°，
∴只有∠EFC＝90°或∠ECF＝90°，
Ⅰ、当∠EFC＝90°时，如图2，
由折叠知，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFE+∠EFC＝90°，
∴点A，F，C在同一条线上，
即：点F在矩形的对角线AC上，
在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝AB＝3，
根据勾股定理得，AC＝√34，
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE＝90°，
∴∠CFE＜90°，∴只有∠CEF＝90°或∠ECF＝90°，
Ⅰ、当∠CEF＝90°时，如图4，
由折叠知，AD＝AF＝5，∠AFE＝90°＝∠D＝∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，∴DE＝AF＝5；
Ⅱ、当∠DCF＝90°时，如图5，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴点F在CB的延长线上，∴∠ABF＝90°，
由折叠知，EF＝DE＝x，AF＝AD＝5，
(3)最值型问题：
这类题则需要根据条件，利用几何形状，利用几何变换进行转换，或创设函数，利用函数性质（一般是一次函数、二次函数的增减性）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。
例5.（2019贵港中考题）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝√2，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．旋转角为105°．
②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
例6.．（2019深圳中考题）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝1/7时，求所有F点的坐标______（直接写出）；
②求 BG/CF的最大值．
【解析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；
（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标;
本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键。
解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。
求解压轴几何问题的策略
(1)课本知识系统化
立足基础知识，要充分体现教材的基础作用，深入挖掘教材的考评价值。这类压轴题所考察知识点源于课本，都能在初中数学课本找到原型，复习要注重对这些原型的加工、组合、类比、改造、延伸和拓展，使分散在各章节的知识点一一过关，形成知识系统，为解这类压轴题奠定知识基础。
(2)解题思路经验化
探索解题思路的规律，形成解题经验。在综合复习过程中，要揭示获取知识的思维学生在学习过程中展开思维，形成能力。解综合与探究题要求学生全面、熟练地掌握学过的数学知识、联系条件，发展条件，依经验迅速确定解题的方向和方法。
解决几何综合题，需要厚积而薄发。所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的。熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中，注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
①.与相似及圆有关的基本图形。
②.正方形中的基本图形。
③.基本辅助线。
a.角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折。
b.与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线。
c.共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆。
d.垂直平分线，角平分线——翻折。
e.转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折。
(3)思想方法渗透化
几何综合与探究题渗透了数学的重要的思想方法，不能以解决问题作为教学的终结点，应将数学思想方法渗透在整个教学过程中。它应以例题、习题为载体，在学好基础知识的同时掌握数学的思想方法，并通过不断的积累、运用，内化为自己的知识经验，以此应对千变万化的各种类型的压轴题。
①.注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形。
②.掌握常规的证题方法和思路。
③.运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题。还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）。
(4)解题训练常规化
几何综合与探究题的解题能力的提升是一个渐进的过程，绝不是在两三周就可以做到的。应把解题能力的提升贯穿于整个数学备考过程，让学生对二次函数压轴题经历从害怕——尝试——熟悉——自信的过程。
(5)解题格式规范化
有部分学生因解题过程不规范，证明时语言不准确而失分，十分可惜。在复习过程中，要建立数常见题型的书写模型，明确哪些过程可以简化，哪些关键的步骤是不可少的，多加练习形成固定模式。
(6)要学会抢得分点
综合与探究题一般在大题下都有两至三个小题，难度是逐渐递增，因此，我们在解答时要把第1小题的分数一定拿到，第2小题的分数要力争拿到，第3小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。
一点感悟及建议
在最后一段时间内，要选做一些能代表命题方向的题目，要引导学生对解题过程、结果进行反思，以下几个方面需重点关注：
（1）试题结构；
（2）解题过程运用了哪些基础知识与基本技能，哪步易错，如何防止；
（3）对解题的方法重新评估，以期找到最优解法；
（4）对题目的重要步骤进行分析，抓住关键，考虑难点之处如何突破，能否用别的方法导出结果，哪一种方法是最高效的；
（5）对问题的条件和结论进行变换，使问题系统化。
数形结合记心头，大题小作来转化，
潜在条件不能忘，化动为静多画图，
分类讨论要严密，方程函数是工具，
计算推理要严谨，创新品质得提高。
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