初中数学培优 七年级下 第十七讲 简单的不定方程 一些竞赛题讲解

　　中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

　　我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。

　　本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。

　　系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

　　系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

　　二、重点难点分析

　　不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是它的解一般有无穷多个，不能唯一确定。

　　对于不定方程,往往限定只求特殊解，如整数解、自然数解等。

　　二元一次不定方程(组)是最简单的不定方程(组)，一些复杂的不定方程(组)通常转化为二元一次不定方程(组)来解决。不定方程ax+by=c有如下两个重要命题:

　　命题1：若系数a和b的最大公约数不能整除c，则不定方程ax+by=c没有整数解。

　　命题2：若x0,y0是方程ax+by=c(系数a,b互质)的一组整数解(称为特解)，则

　　(t为整数)是方程的全部整数解(称通解)。

　　解不定方程(组)，没有现成的模式和固定的方法，需要依据方程(组)的特点进行给当的变形，并灵活运用以下知识和方法：数的奇偶性、整数的整数性、分离整系数、因式分解、分解因数、配方法、枚举法、不等式分析法等。

　　三、例题精选

　　例1 求下列不定方程的整数解：

　　（1）2x+6y=8;

　　（2）5x+10y=13.

　　解析：

　　（1）方程两边约分：x+3y=4，观察后得一组特解：，

　　因此本题的通解为：,t为整数。

　　（2）5和10的最大公约数是5，即（5,10）=5，但是5不能整除13，

　　根据命题1，本题没有整数解。

　　例2 试证明命题1和命题2.

　　（1）用反证法证明：假设方程有一组整数解x0,y0,那么：

　　a=kad,b=kbd，ka，kb互质的整数，d=（a,b），

　　代入原方程得：x0kad+y0kbd=c；

　　x0ka+y0kb=；

　　等式左边是整数，右边不是整数，矛盾。

　　∴假设不成立，原方程无整数解。

　　（2）命题（2）直接代入法证明即可。略。

　　例3 设正整数m，n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值是。

　　解：这个类型的题目，因式分解法比较通用：

　　（m-9）（n-8）=66=1*2*3*11；

　　要求m的最大值，那么m-9得取最大的正整数，那么n-8就是取最小的正整数。

　　由题意：，即m的最大值为75。

　　也可以用分离常数法，把含n的代数式变为分母：

　　m==9+,

　　接下来的解答过程略。

　　例4我国古代数学家张建丘所著《算经》中的"百钱买百鸡"问题:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁,鸡母,鸡雏各几何?

　　解析：设公鸡（鸡翁）x只，母鸡（鸡母）y只，小鸡（雏鸡）z只，就可以列出三元一次方程组：

　　z+y+x=100,①

　　5x+3y+=100.②

　　三元方程组消元转化为二元一次不定方程,求不定方程的整数解即可。

　　②*3-①后整理得：

　　7x+4y=100；③

　　；

　　因为数字不大，一个个代入即可：

　　（对数论比较熟悉的同学可以这样分析：4和7互质，100=25*4，被4整除，那么x必然是4的倍数，可以省去很多时间）

　　,,,.

　　用通解的方法解：

　　显然y=0，x=25是方程③的一组特解；

　　那么是通解；t是整数

　　x，解得0，同样得出四组解。

　　两种方法计算时间差不多。

　　很多地方都没有x=0这组解，但是我个人觉得题目中未写明必有公鸡，应该补上。

　　例5 求=的正整数解的数量。

　　解：x、y、z是对称的，因此，我们可以加上假设对x、y、z进行约束。

　　假设1x，那么

　　, 即x

　　当x=2时，=即y

　　当y=2时，无解，

　　当y=3时，无解，

　　当y=4时，z=12,

　　当y=5时，无解，

　　当y=6时，z=6.

　　当x=3时，=，即y

　　当y=3时，z=6

　　当y=4时，z=4.

　　即共有四组解（2,4,12,）（2,6,6）（3,3,6）（3,4,4）

　　因为x、y、z是对称的，因此上述每组答案可以用排列组合的方式得到最后的解：

　　比如（2,4,12）可以（2,4,12）（2,12,4）（4,2,12）（4,12,2）（12,2,4）（12，4,2）共3*2=6组答案。

　　另外三组只要确定不同的元素位置即可，比如（2,6,6）的不同元素是2，那么共3组答案：（2,6,6）（6,2,6）（6,6,2）。

　　因此总共3*2+3*3=15组解。

　　例6 设n为非负整数，满足方程x+y+2z=n的非负整数（x,y,z）的组数即为an，

　　（1）求a3的值；

　　（2）求a2018的值。

　　解：（1）x+y+2z=3的解有

　　相对x、y，未知数z比较特殊，系数是2.

　　当z=1时，x+y=1，x，y只能（0,1）（1,0）

　　当z=0时，x+y=3，那么就有3组解，x=0,1,2,3都有对应的y。

　　所以总共有6组解：（0,1,1），（0，3，0）（1,0,1）（1,2,0）（2,1，0）（3,0,0）；

　　即a3=6；

　　（2）根据（1）的解答过程，当

　　Z=1009时，x+y=0,1组解；

　　Z=1008时，x+y=2,3组解；

　　Z=1007时，x+y=4,5组解；

　　。。。

　　当z=0是，x+y=2018，共2019组解。

　　∴a2018=1+3+5+7+...+2019=1010*1010=1020100.

　　四、练一练

　　1、求方程7x+19y=213的所有正整数解。

　　2、求方程x+y=x2-xy+y2的整数解。

　　3、的正整数解是。

　　4、小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币。小倩对小玲说:"你若给我2元,我的钱数将是你的n倍。"小玲对小情说:"你若给我n元，我的钱数将是你的2倍，"其中n为正整数，则n的可能值的个数是()

　　A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

　　5.在高速公路上从3km处开始，每隔4km设一个速度限制标志，而且从10km处开始，每隔9km设一个测速照相标志，则刚好在19km处同时设置这两种标志，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()

　　A . 32 km B . 37 km C . 55 km D . 90 km

　　6.方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整数根，则整数a的值是

　　7.有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示成3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.

　　8、兄弟两人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰好等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟两人平分卖羊得来的钱:哥哥先取10元，弟弟再取10元这样依次反复进行，最后哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟两人所得的钱数相等。问这顶草帽值多少钱（整数）?

　　答案：

　　1、x==30-2y+

　　由题意1，1.

　　且3-5y是7的倍数，则：y=2,9:解得：;.

　　2、方法1:用主元法配合求根公式做。

　　把y当做参数，则 x2-(y+1)x+y2-y=0,x、y是整数，那么

　　2-4y2+4y=-3y2+8y+1，

　　解得：,

　　∵4,∴y只能取0,1,2，

　　当y=0时，x=0，或1；

　　当y=1时，x=0或2；

　　当y=2时，x=1或2.

　　方法2：用配方法做

　　x+y=x2-xy+y2,∴(x-y)2+xy=x+y

　　即：(x-y)2=x+y-xy=(1-x)(y-1)+1=[(x-1)-(y-1)]2①

　　设a=x-1,b=y-1,则①经移项后化为（a-b）2+ab=1②

　　②两边乘以2，并展开后得2=2a2+2b2-2ab=(a-b)2+a2+b2

　　X、y是整数，a、b是整数，那么(a-b)2、a2、b2三个数中只能是2个1，一个0.

　　分类讨论，下面步骤基本同方法1.

　　3、x、y、z是正整数，那么0

　　当a；

　　当a；

　　当a=1时，1=,∴

　　当x=1时，无解

　　当x=2时，，∴2

　　当a=2时，2=，∴x<1.5,即x=1；

　　1=，∴1

　　综上所述，当且仅当a=1时，方程有正整数解（2,3,6）

　　或者从另外一个角度分析更直接：

　　a=,∴a只能等于1.

　　4、设小倩有x元，小玲有y元，则

　　X+2=n(y-2)

　　2(x-n)=y+n ;即y=2x-3n

　　消元后，x==+①

　　①两边都乘以4，得4x=6n+7+②

　　若x为正整数，那么4x必然也是正整数，且是4的倍数

　　∴2n-1只能从1,3,5,15中取，

　　当2n-1=1,即n=1时，x=7,y=11;

　　当2n-1=3时，即n=2时，x=6，y=5；

　　当2n-1=5时，即n=3时，x=7,y=5；

　　当2n-1=15时，即n=8时，x=14，y=4.

　　答案选D。

　　5、4和9的最小公倍数是36，所以下个同时设点的就是19+36=55km。

　　当然也可以用排序法，麻烦一点。

　　答案选C。

　　6、这个题目网上许多地方没有规定a是整数，但是按整数求解。方法是错误的，暂时按a是整数来求。

　　当x、a都是整数时，x-a是整数，x-8是整数，那么：

　　或；解得a=8；

　　7、设这8个数中最小的为n，那么8个数之和为8n+28，是7个连续正整数之和，设第四个为x，则，8n+28=7x，是7的倍数；同理，不能表示为3个连续正整数之和，即8n+28不是3的倍数。

　　N是正整数，最小为1,8n+28是7的倍数，那么8n是7的倍数，7和8互质，所以n是7的倍数，n的取值范围：7,14,21,28.。。

　　当n=7时，8n+28=84，是3的倍数；不符合题意；

　　当n=14时，8n+28=140，不是3的倍数，符合题意。

　　此时，题目要求的数就是14+7=21.

　　8、设羊有x只，那么总共卖了x2元。

　　设草帽值y元。

　　设刚刚取了m次10元，

　　那么弟弟取了（m-1））次10元，加剩余的零钱n元。

　　由题意10-y=n+y。N=10-2y①

　　且10*（2m-1）+n是一个完全平方数x2，其尾数就是n。②

　　我们知道，完全平方数的尾数是0,1,4，9,5,6③

　　综合①②③可知n只能取0,4,6.

　　因此羊的数量为偶数。

　　当x=10k+2时，（10k+2）2=100k2+40k+4,最后一个10元是弟弟取；哥哥取尾数4元。

　　X=10+4时，（10k+4）2=100k2+80k+16，最后一个10元哥哥取；弟弟取尾数6元。

　　X=10k+6时，（10k+6）2=100k2+120k+36,最后一个10元哥哥取；弟弟取尾数6元。

　　X=10k+8时，(10k+8)2=100k2+160k+64,最后一个10元弟弟取。哥哥取尾数4元。

　　X=10k时，100k2，最后一次弟弟取，正好平分。

　　综上，尾数n=6，帽子值2元。

　　

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