对称现高效，射影立奇功
对称现高效，射影立奇功——2022年宜昌市中考数学第23题
初中阶段几何三大变换：平移、轴对称、旋转，属于各地中考数学题的常见考点，相对于武汉、襄阳等地偏好旋转，宜昌的几何综合题偏好轴对称，也称折叠。当然无论哪种变换，考察的学生核心素养是相同的，即通过上述变换，理解变换前后几何图形发生的变化，包括数量关系和位置关系，基于它们的题型非常多，总结出来的模型也非常多。而2022年宜昌市中考数学第23题，采用了其中的两种，设置了层层阶梯，让考生拾级而上，充满了人文关怀。
题目
已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC为直径的圆O与AB相交于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，连接BE.
(1)如图1，DE与圆O相切于点G.
①求证：BE=EG；
②求BE·CD的值；
(2)如图2，延长HO与圆O相交于点K，将△DEF沿DE折叠，点F的对称点F'恰好落在射线BK上.
①求证：HK∥EF'；
②若KF'=3，求AC的长.
解析：
(1)作为起手式，学生很容易看出切线长定理的使用图例
①由平移可知BE∥AD，再加上∠ABC=90°，于是∠CBE=90°，证明了BE也是圆O的切线(DE是圆O切线题目条件已有)，再由切线长定理得到BE=EG；
②依然利用切线长定理，由于AF也是圆O切线，因此CD=DG，所以我们要求的BE·CD变成了EG·DG，不妨连接OD，OG，OE，如下图：
我们很容易证明△BOE≌△GOE，于是∠BOE=∠GOE，同理可证∠COD=∠GOD，而∠BOE+∠GOE+∠COD+∠GOD=180°，所以∠DOE=90°，再加上OG⊥DE可证，于是利用射影定理得到OG=EG·DG，其中OG是半径，等于3，所以BE·CD=EG·DG=OG=9；
这是射影定理在本题中初试锋芒，后面还会用到；
(2)相对前一小题，图形发生了改变，但新增的条件中并无动态图形，所以本小题难度并不大。
①既然有轴对称，不妨连接FF'，由轴对称性质可知FF'⊥DE，由于HK是圆O直径，所以得到∠HBK=90°，即BF'⊥AB，继续由平移得到AB∥DE，结合BF'⊥AB，FF'⊥DE，经过点F'的两条线段分别和一组平行线垂直，则可判断B、F'、F三点共线，如下图：
现在让我们来梳理一下条件，并作简单的推导：
由平移可得BC∥EF，则∠2=∠4，在圆中，OB=OK可得∠1=∠2，由轴对称可得∠3=∠4，于是∠1=∠3，所以它们的补角∠OKF'=∠EF'K，所以HK∥EF'；
②新增条件KF'=3，结合原有条件中半径也是3，则图中可求线段更多，连接CK，如下图：
仍然利用轴对称求得RF=RF'，其中RF是△DEF斜边上的高，它在平移前是CH，所以RF=CH，由于BC和HK分别是圆O的两条直径，所以易得矩形BHCK，于是BK=CH，不妨设CH=BK=RF=RF'=x，注意Rt△BCF中，CK恰为其斜边上的高，因此射影定理再度登场，得BC=BK·BF，可得方程36=x(3x+3)，解得x=3，局面一下子全部打开，原来是个特殊三角形！
在△BOK中，三边长均为3，所以它是一个等边三角形，可求∠ABC=30°，最后在Rt△ABC中，求出AC=2√3；
解题反思：
本题方法众多，文中所列举解法只是其中之一，个人认为容易想到，也比较好讲给学生听。
关于轴对称的性质，实际解题中学生极少使用，多数用全等来代替它，虽然轴对称本质上就是特殊位置的全等，但这种特殊位置用得好，在解题过程中确有提高效率的作用，所以在平时教学中，它的性质要多用，教材上原本也设置有这类习题，但由于前面所学全等知识印象特别深，再加上用全等并不算错，学生的旧习惯没能得到突破，才形成了惯势。
而射影定理同样也是相似三角形，尤其是直角三角形相似的特殊形式，本题利用相似同样能解，但是射影定理的结论却和本题结论吻合，用好它，可极大提高解题效率。
为什么第2小题中，第2个子问题条件下会得到一个特殊三角形？有两个条件逐渐确定，第一个是对称点F'在BK延长线上，我们解法中探究过，在这个条件下，B、F'、F始终共线，于是Rt△BCF始终存在，且有一边长为6，此时由射影定理可知BC=BK·BF，一旦BC长度确定，则△BCF形状确定，而KF'=3恰恰给定了BF长，而为了计算方便，给出的是含60°角的直角三角形。
这道题的入口很宽，即使在各小题中，可容纳的学生思路也非常多，想必在阅卷过程中还会有更多解法呈现。我们所关注的，不仅是众多解法，更应该是让学生学会其中之一，并且知道为什么要这样做。