数学竞赛和常规教学的关系---金磊老师谈数学竞赛
说起数学竞赛，大多数人都是谈虎色变。觉得它与我们相去甚远，与正常的数学题目泾渭分明、天壤之别。事实是否如此呢？为此我们专访了西安交大附中的数学竞赛老师金磊。
金磊老师现于西安交大附中高中部任教，负责高中数学教学，同时也是交大附中数学竞赛中心主任。1996年金磊因获得初中数学联赛陕西省第三名被西安交大附中从汉中录取进入理科竞赛班读高中，1999年因在数学联赛中获得陕西省一等奖被保送进入西安交大学习。因为热爱数学，金磊选择了应用数学专业。本科毕业后他又攻读了西安交大基础数学专业研究生，获得理学硕士学位。2007年，在金磊攻读硕士学位期间，交大附中有些特殊课程如考法国大学、新加坡的SM1项目等需要数学竞赛和英语技能，找不到老师辅导，就联系上金磊，请他为学生做辅导。辅导后学生和学校非常满意，因此交大附中邀请他毕业后留校任教。因为对数学及数学竞赛和教学的热爱，毕业后他接受了邀请留在交大附中指教高中数学课程及数学竞赛。
除常规教学外，金磊先生一直致力于特色教学（数学竞赛、自主招生、北大清华先修课程、交大少年班、新加坡SM1,2项目、法国大学考试、新加坡个人挑战赛等）的实践与研究，参与过初中与高中的数学常规教学。担任交大少年班数学教师并参与编写交大少年班数学教材并担任《几何》分册主编。近年来在《中等数学》、《中学数学教学参考》、《数学通报》、《数学通讯》、《数学文化》、《Mathematical Medley》等杂志上发表文章30多篇。主要擅长竞赛中的平面几何，在业界有口皆碑。2020年个人专著《鸡爪定理》由哈尔滨工业大学出版社出版以后大受欢迎，现在已经第二次印刷。2022年第二本书《圆幂与根轴》由浙江大学出版社出版。第三本书《直线型》是“数学奥林匹克命题人讲座”升级版中的一本，由上海科技出版社约稿，正在写作中，近期即将出版。
金磊特别喜欢学习和钻研，几乎每天都在做题写文章。从2018年5月开始创建他的个人公众号“金磊讲几何构型”，平均每周写一篇原创性文章。迄今已发布文章200多篇，订阅量已经超过25000。文章阅读量最高16000，平均每篇3000. 常被国内各个中学请到校内上课交流。如人大附中、北京四中、成都七中、衡水中学等，例如几乎每年都受邀在人大附中给北京市参加全国冬令营的学生作考前竞赛培训。
谈及为何能在数学教学上有如此成功的创新，金磊先生认为一个是他很喜欢数学，特别是中学数学，在中学学习的时候就有不少独特的方法和体会；第二个是他很喜欢教学，乐于与学生交流思想，分享经验，教学相长；第三个是喜欢思考和学习，每天思想的提升和知识的收获都让他甘之若饴；第四个是愿意下功夫，虽然不是最聪明的，但是他争取做最努力地。
数学竞赛和常规数学是不是没有关系呢？金磊老师认为上述说法是错误的，事实上，数学竞赛和平常的教学之间没有明显的界限，所谓的数学竞赛试题，只是我们平常试题的加深和提高。许多题目既可以认为是数学竞赛试题，也可以认为是普通试题。根本无法区分它是数学竞赛题还是常规数学题。所谓的竞赛试题，只是其范围比普通试题大一些。
所谓的旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家。很多经典的数学竞赛题慢慢就“沦落”成了高考题或者中考题，甚至是小学试题。以下通过一些例子来说明。
例如2020年高考全国2卷的最后一题压轴导数题为：
本题是来源于数学竞赛的经典书籍《奥数教程》，在其中的高一分册第117页最后一个练习题。在这里只是为了降低难度，增加了一点提示。
还有2021年全国甲卷的第20题，
此题结构优美、结论简洁。但是是非常老的结构，一般称为彭色列定理，相关的恒等式称为欧拉察柏公式，金磊老师的公众号三年前的文章（《圆锥曲线中的欧拉察柏公式相关问题》）基本把相关问题总结完了，此文也收入了金磊老师的《鸡爪定理》的附录中。在此再温习一下：
此结构对两圆、及两圆锥曲线都成立，甚至可以推广到空间中。国内最早见到的是1982年高考压轴题：
此题就是两个抛物线的情形，证明完全类似，一般都是用韦达定理解决。
此题还作为2011年高中数学联赛B卷一试的压轴题考察过。
此类问题还作为2009年清华大学保送生考试试题，2014年浙江2009年江西高考文科的压轴题的高考题考察过。
类似的例子数不胜数，甚至可以说，几乎所有的高考数学难题都来源于数学竞赛。事实上也不是高考出题老师有意为之，因为数学竞赛就是平时数学的升级，至大无外、至小无内，兼收并蓄、包罗万象，数学竞赛几乎包含了所有的数学内容。老师绞尽脑汁、呕心沥血出的题目往往都是竞赛试题的简化或者变形，高考这个孙悟空无论如何也逃不出数学竞赛这个佛祖的手掌心。
综上，普通数学与数学竞赛的关系是一体两面，互为表里。普通数学是数学竞赛的基础，竞赛数学是普通数学的延伸和提升。
当然数学竞赛作为平常教学的升级和加深，难度必然是比较高的，学生也要量力而为，对于学有余力，想冲击高分甚至满分的学生，适当学习一些数学竞赛内容，拓宽眼界是很有必要的。普通的学生学好课内数学即可，在掌握平常内容的同时。有兴趣的时候适度学习一点长长见识也是可行的。切不可舍本逐末、走火入魔，一心只做竞赛题而忽视了平常的试题。（作者：王蒙）