2006年湖北高考数学真题，椭圆综合题，学霸也一筹莫展

　　大家好！本文和大家分享一道2006年湖北省的高考数学真题。这道题是试卷的倒数第二题，考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、点与圆的位置关系等知识，难度还是比较大的，特别是第二小问不少学霸看后也是一筹莫展。

　　

　　先看第一小问：求椭圆的标准方程。

　　由椭圆的长半轴长等于焦距，可得：a=2c。又因为椭圆的右准线为直线x=4，所以a^2/c=4。联立两式，解得：a=2，b=1，则b=√(a^2-c^2)=√(4-1)=√3从而求出椭圆的标准方程。

　　这一问的难度不大，只要掌握了椭圆的简单几何性质就不难求出a、b的值，进而求出椭圆的标准方程。

　　

　　再看第二小问：证明点在圆内。

　　判断点与圆的位置关系，高中阶段最常用的方法就是将点的坐标代入圆的方程。对于圆的标准方程，如果点的坐标代入后得到的值等于r^2，则点在圆上；若小于r^2，则点在圆内；若大于r^2，则点在圆外。对于圆的一般方程，如果点的坐标代入后的值等于0，则点在圆上；若小于0，则点在圆内；若大于0，则点在圆外。

　　

　　不过，按照上面的解法，我们需要先求出以MN为直径的圆的方程，而求圆的方程显然比较复杂。所以，我们需要转换一下思路，换个角度来思考。

　　试想一下，如果一个点在圆内，那么过该点连接某条直径的两个端点，这样就形成了一个三角形。在这个三角形中，直径所对的角必然为钝角，由此可以知道本题中，∠MBN必为钝角。

　　由(1)可以得到点A、B的坐标，然后设出点M的坐标。由于点M在椭圆上，且异于A、B，由此可知点M的横坐标的取值范围为(-2,2)。然后，由A、M、P三点共线可以求出点P的坐标，从而得到向量BM和向量BP的坐标，这样就可以求出两个向量的数量积。

　　将数量积中M点的纵坐标用横坐标代换，得到一个关于M横坐标的表达式，然后根据横坐标的取值范围得到数量积为正数，也就是说∠MBP为锐角，那么∠MBN为钝角，所以点B在以MN为直径的圆内。

　　

　　下面再介绍另外一种证明思路。

　　如果一个点在圆内，那么该点到圆心的距离必然小于圆的半径，所以本题的证明也可以通过比较点B到MN中点的距离与线段MN长度的一半(即圆的半径)来确定点B与圆的位置关系。

　　当然，这个方法的计算量比较大，需要表示出MN的中点坐标以及点M、N并用两点间距离公式表示出MN的长，同时还要根据直线AP、BP的位置关系找找出点M、N横纵坐标之间的关系，然后比较B到MN中点的距离与1/2|MN|的大小关系。

　　

　　本题第二问的难度确实较大，解题的关键是确定判断标准，难点在于计算复杂。你学会了吗？

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