2006年湖北高考数学真题,椭圆综合题,学霸也一筹莫展

  大家好!本文和大家分享一道2006年湖北省的高考数学真题。这道题是试卷的倒数第二题,考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、点与圆的位置关系等知识,难度还是比较大的,特别是第二小问不少学霸看后也是一筹莫展。

  

  先看第一小问:求椭圆的标准方程。

  由椭圆的长半轴长等于焦距,可得:a=2c。又因为椭圆的右准线为直线x=4,所以a^2/c=4。联立两式,解得:a=2,b=1,则b=√(a^2-c^2)=√(4-1)=√3从而求出椭圆的标准方程。

  这一问的难度不大,只要掌握了椭圆的简单几何性质就不难求出a、b的值,进而求出椭圆的标准方程。

  

  再看第二小问:证明点在圆内。

  判断点与圆的位置关系,高中阶段最常用的方法就是将点的坐标代入圆的方程。对于圆的标准方程,如果点的坐标代入后得到的值等于r^2,则点在圆上;若小于r^2,则点在圆内;若大于r^2,则点在圆外。对于圆的一般方程,如果点的坐标代入后的值等于0,则点在圆上;若小于0,则点在圆内;若大于0,则点在圆外。

  

  不过,按照上面的解法,我们需要先求出以MN为直径的圆的方程,而求圆的方程显然比较复杂。所以,我们需要转换一下思路,换个角度来思考。

  试想一下,如果一个点在圆内,那么过该点连接某条直径的两个端点,这样就形成了一个三角形。在这个三角形中,直径所对的角必然为钝角,由此可以知道本题中,∠MBN必为钝角。

  由(1)可以得到点A、B的坐标,然后设出点M的坐标。由于点M在椭圆上,且异于A、B,由此可知点M的横坐标的取值范围为(-2,2)。然后,由A、M、P三点共线可以求出点P的坐标,从而得到向量BM和向量BP的坐标,这样就可以求出两个向量的数量积。

  将数量积中M点的纵坐标用横坐标代换,得到一个关于M横坐标的表达式,然后根据横坐标的取值范围得到数量积为正数,也就是说∠MBP为锐角,那么∠MBN为钝角,所以点B在以MN为直径的圆内。

  

  下面再介绍另外一种证明思路。

  如果一个点在圆内,那么该点到圆心的距离必然小于圆的半径,所以本题的证明也可以通过比较点B到MN中点的距离与线段MN长度的一半(即圆的半径)来确定点B与圆的位置关系。

  当然,这个方法的计算量比较大,需要表示出MN的中点坐标以及点M、N并用两点间距离公式表示出MN的长,同时还要根据直线AP、BP的位置关系找找出点M、N横纵坐标之间的关系,然后比较B到MN中点的距离与1/2|MN|的大小关系。

  

  本题第二问的难度确实较大,解题的关键是确定判断标准,难点在于计算复杂。你学会了吗?

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